Dans cette section, nous développons une approche alternative pour calculer \(V({\bf r})\) qui tient compte de ces conditions aux limites et facilite ainsi l’analyse du champ de potentiel scalaire au voisinage des structures et des propriétés des matériaux variant dans l’espace. Cette approche alternative est basée sur l’équation de Poisson, que nous dérivons maintenant.

Nous commençons par la forme différentielle de la Loi de Gauss (Section 5.7):

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\

Ensuite, nous appliquons la relation (Section 5.14):

\yielding\

C’est l’équation de Poisson, mais elle n’est pas sous la forme sous laquelle elle est couramment utilisée. Pour obtenir la forme alternative, considérons l’opérateur \(\nabla\cdot\nabla\) en coordonnées cartésiennes :

\

Notez que l’équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles, et peut donc être résolue en utilisant des techniques bien connues déjà établies pour de telles équations. En fait, l’équation de Poisson est une équation différentielle inhomogène, la partie inhomogène \(-\rho_v/\epsilon\) représentant la source du champ. En présence d’une structure matérielle, nous identifions les conditions aux limites pertinentes aux interfaces entre les matériaux, et la tâche de trouver \(V({\bf r})\) est réduite à la tâche purement mathématique de résoudre le problème de la valeur limite associé (voir « Lecture supplémentaire » à la fin de cette section). Cette approche est particulièrement efficace lorsque l’un des matériaux est un conducteur parfait ou peut être modélisé comme un tel matériau. En effet, comme indiqué au début de cette section, le potentiel électrique en tous points de la surface d’un conducteur parfait doit être égal, ce qui donne une condition aux limites particulièrement simple.

Dans de nombreuses autres applications, la charge responsable du champ électrique est en dehors du domaine du problème; c’est-à-dire que nous avons un champ électrique non nul (donc un potentiel électrique potentiellement non nul) dans une région qui est gratuite. Dans ce cas, l’Équation de Poisson se simplifie en Équation de Laplace:

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