Nous avons vu qu’un système mécanique soumis à des forces conservatrices est en équilibre lorsque les dérivées de l’énergie potentielle par rapport aux coordonnées sont nulles. Une méthode pour résoudre de tels problèmes consiste donc à écrire une expression pour l’énergie potentielle et à mettre les dérivées égales à zéro.

Une méthode très similaire consiste à utiliser le principe du travail virtuel. Dans cette méthode, nous imaginons que nous agissons sur le système de manière à augmenter l’une des coordonnées. Nous imaginons, par exemple, ce qui se passerait si nous étirions l’un des ressorts, ou si nous augmentions l’angle entre deux tiges articulées, ou l’angle que fait l’échelle lorsqu’elle s’appuie contre le mur. Nous nous demandons combien de travail nous devons faire sur le système afin d’augmenter légèrement cette coordonnée. Si le système part de l’équilibre, ce travail sera très petit et, à la limite d’un déplacement infiniment petit, ce « travail virtuel » sera nul. Cette méthode est très peu différente de la mise à zéro de la dérivée de l’énergie potentielle. Je le mentionne ici, cependant, parce que le concept pourrait être utile au chapitre 13 pour décrire le principe variationnel de Hamilton.

Commençons par faire un simple problème d’échelle par la méthode du travail virtuel. L’échelle uniforme habituelle de la physique du lycée, de longueur \ (2l \) et de poids \ (mg\), s’appuie en équilibre statique limitant contre la paroi verticale lisse habituelle et le plancher horizontal rugueux dont le coefficient de frottement statique limitant est \ (\mu\). Quel est l’angle \(\thêta \) que fait l’échelle avec le mur vertical?

Il existe plusieurs façons de le faire, qui seront familières à de nombreux lecteurs. Le seul petit rappel que je donnerai est de souligner que, si vous souhaitez combiner les deux forces au pied de l’échelle en une seule force agissant vers le haut et un peu vers la gauche, de sorte qu’il n’y ait alors que trois forces agissant sur l’échelle, les trois forces doivent agir par un seul point, qui sera au-dessus du milieu de l’échelle et à droite du point de contact avec le mur. Mais nous sommes maintenant intéressés à résoudre ce problème par le principe du travail virtuel.

Avant de commencer, je dois avertir qu’il est important dans l’utilisation du principe du travail virtuel d’être méticuleusement prudent sur les signes, et à cet égard je rappelle aux lecteurs que dans le calcul différentiel les symboles \(\delta\) et \(d\) devant une quantité scalaire \(x\) ne signifient pas « un petit changement de » ou « un changement infinitésimal » dans \(x\). Un tel langage est vague. Les symboles représentent « une petite augmentation de » et « une augmentation infinitésimale de ».

Prenons note des distances suivantes:

\

et

\

\

et

\

De plus, si l’on augmentait \(\thêta\) de \(\delta\thêta\), le travail effectué par la force en C serait \(mg\) fois la diminution de la distance CD, et le travail effectué par la force de frottement en E serait moins \(\mu mg\) fois le augmentation de la distance BE. Les deux autres forces ne fonctionnent pas. Ainsi, le « travail virtuel » effectué par les forces externes sur l’échelle est

\

En mettant l’expression du travail virtuel à zéro, nous obtenons

\

Vous devriez vérifier que c’est la même réponse que vous obtenez d’autres méthodes – la plus simple est probablement de prendre des moments sur E.

Il y a quelque chose dans le travail virtuel qui me rappelle la thermodynamique. La première loi de la thermodynamique, par exemple, est \(\ Delta U = \Delta q + \Delta w \), où \(\Delta U \) est l’augmentation de l’énergie interne du système, \(\Delta q \) est la chaleur ajoutée au système et \(\Delta w \) est le travail effectué sur le système. Les prépositions jouent un rôle important en thermodynamique. Il est toujours obligatoire d’indiquer clairement et sans ambiguïté si le travail est effectué par le piston sur le gaz, ou par le gaz sur le système; ou si la chaleur est gagnée par le système ou perdue. Sans ces prépositions, toute discussion n’a aucun sens. De même pour résoudre un problème par le principe du travail virtuel, il est toujours essentiel de dire si vous décrivez le travail effectué par une force sur quelle partie du système (sur l’échelle ou sur le sol?) et si vous décrivez une augmentation ou une diminution d’une longueur ou d’un angle.

Passons maintenant à un problème un peu plus difficile, que nous allons essayer par trois méthodes différentes – y compris celle du travail virtuel.

Sur la figure IX.5, une tige uniforme AB de poids \(Mg\) et de longueur \(2a\) est articulée librement en A. L’extrémité B porte un anneau lisse de masse négligeable. Une chaîne inextensible légère de longueur \(l\) a une extrémité attachée à un point fixe C au même niveau que A et éloignée \(2a\) de celui-ci. Il traverse l’anneau et porte à son autre extrémité un poids \(\frac{1}{10}Mg\) suspendu librement. (L’anneau « lisse » signifie que la tension dans la corde est la même des deux côtés de l’anneau.) Trouver la CABINE D’angle lorsque le système est en équilibre.

J’ai marqué dans différents angles et longueurs, qui peuvent facilement être déterminés à partir de la géométrie du système, et j’ai également marqué les quatre forces sur la tige.

Essayons d’abord une méthode très conventionnelle. Nous savons assez peu de choses sur la force R de la charnière sur la tige (voir ci-dessous), et c’est donc une bonne raison de prendre des moments sur le point A. Nous obtenons immédiatement

\

Maintenant essayons le même problème en utilisant les conditions d’énergie. Nous prendrons le zéro de l’énergie potentielle lorsque la tige est horizontale – moment auquel la petite masse est à une distance l inférieure au niveau AC.

\=-\frac{2}{3}Mga(3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

La dérivée est

\

Essayons maintenant par travail virtuel. Nous allons augmenter \(\theta\) de \(\delta\theta\) et voir combien de travail est fait.

Ainsi, le travail virtuel est

\

Si nous mettons cela égal à zéro, nous obtenons le même résultat que précédemment.