Des milliers de mémoires, d’articles et de livres ont depuis été consacrés à l’étude des solutions de Schwarzschild aux équations du champ d’Einstein. Cependant, bien que les travaux les plus connus de Schwarzschild se situent dans le domaine de la relativité générale, ses intérêts de recherche étaient extrêmement larges, notamment en mécanique céleste, en photométrie stellaire observationnelle, en mécanique quantique, en astronomie instrumentale, en structure stellaire, en statistiques stellaires, en comète de Halley et en spectroscopie.

Certaines de ses réalisations particulières incluent des mesures d’étoiles variables, en utilisant la photographie, et l’amélioration des systèmes optiques, grâce à l’étude perturbative des aberrations géométriques.

Physique de la photographiEdit

À Vienne en 1897, Schwarzschild a développé une formule, maintenant connue sous le nom de loi de Schwarzschild, pour calculer la densité optique du matériau photographique. Cela impliquait un exposant maintenant connu sous le nom d’exposant de Schwarzschild, qui est le p {\displaystyle p}

dans la formule:

i=f(I tt p) {\displaystyle i =f(I\cdot t^{p})}

(où i {\displaystyle i}

est la densité optique de l’émulsion photographique exposée, fonction de I {\displaystyle I}

, l’intensité de la source observée, et t{\displaystyle t}

, le temps d’exposition, avec p {\displaystyle p}

une constante). Cette formule était importante pour permettre des mesures photographiques plus précises des intensités des sources astronomiques faibles.

ElectrodynamicsEdit

Selon Wolfgang Pauli (Théorie de la relativité), Schwarzschild est le premier à introduire le formalisme lagrangien correct du champ électromagnétique en tant que

S=(1/2) ∫(H 2−E 2) d V + ρ ρ( ϕ−A → u u →) d V {\displaystyle S =(1/2) \int(H^{2}-E^{2}) dV +\int \rho(\ phi-{\vec{A}}\cdot{\vec{u}}) dV}

où E →, H → {\displaystyle {\vec{E}}, {\vec {H}}}

sont le champ électrique et magnétique, A →{\displaystyle{\vec{A}}}

est le potentiel vectoriel et {{\displaystyle\phi}

est le potentiel électrique.

Il a également introduit un champ libre formulation variationnelle de l’électrodynamique (aussi connu comme « action à distance » ou « direct interparticulaires action ») basée uniquement sur le monde de la ligne de particules

S = ∑ i m i ∫ C i d e s i + 1 2 ∑ i , j ∬ C i , C j q i q j δ (ğ P i P j ‖ ) d s i d e s j {\displaystyle S=\sum _{i}m_{i}\int _{C_{i}}ds_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\iint _{C_{i},C_{j}}q_{i}q_{j}\delta \left(\left\Vert P_{i}P_{j}\right\Vert \right)d\mathbf {s} _{i}d\mathbf {s} _{j}}

où C α {\ displaystyle C_{\alpha}}

sont les lignes mondiales de la particule, d s α {\displaystyle d\mathbf{s}_{\alpha}}

l’élément d’arc (vectoriel) le long de la ligne du monde. Deux points sur deux lignes du monde contribuent au Lagrangien (ne sont couplés) que s’ils sont une distance Minkowskienne nulle (reliés par un rayon lumineux), d’où le terme δ( PP i P j ‖) {\displaystyle\delta\left(\left\Vert P_{i}P_{j}\right\Vert\right)}

. L’idée a été développée par Tetrode et Fokker dans les années 1920 et Wheeler et Feynman dans les années 1940 et constitue une formulation alternative / équivalente de l’électrodynamique.

RelativityEdit

Le problème de Kepler en relativité générale, en utilisant la métrique de Schwarzschild

Article principal: Dériver la solution de Schwarzschild

Einstein lui-même a été agréablement surpris d’apprendre que les équations de champ admettaient des solutions exactes, en raison de leur complexité prima facie, et parce qu’il n’avait lui-même produit qu’une solution approximative. La solution approximative d’Einstein a été donnée dans son célèbre article de 1915 sur l’avancée du périhélie de Mercure. Là, Einstein a utilisé des coordonnées rectangulaires pour approximer le champ gravitationnel autour d’une masse symétrique sphériquement, non rotative et non chargée. Schwarzschild, en revanche, a choisi un système de coordonnées plus élégant « semblable à un polaire » et a pu produire une solution exacte qu’il a d’abord énoncée dans une lettre à Einstein du 22 décembre 1915, écrite alors que Schwarzschild servait dans la guerre stationnée sur le front russe. Schwarzschild a conclu la lettre en écrivant: « Comme vous le voyez, la guerre m’a traité assez gentiment, malgré les tirs nourris, pour me permettre de m’éloigner de tout cela et de faire cette promenade au pays de vos idées. »En 1916, Einstein a écrit à Schwarzschild sur ce résultat:

J’ai lu votre article avec le plus grand intérêt. Je ne m’attendais pas à ce que l’on puisse formuler la solution exacte du problème d’une manière aussi simple. J’ai beaucoup aimé votre traitement mathématique du sujet. Jeudi prochain, je présenterai le travail à l’Académie avec quelques mots d’explication.

— Albert Einstein,

Région limite de la solution intérieure et extérieure de Schwarzschild

Le deuxième article de Schwarzschild, qui donne ce qui est maintenant connu sous le nom de « Solution interne de Schwarzschild » (en allemand: « innere Schwarzschild-Lösung »), est valable dans une sphère de molécules distribuées homogènes et isotropes dans une enveloppe de rayon r = R. Il est applicable aux solides; fluides incompressibles; le soleil et les étoiles considérés comme un gaz chauffé quasi-isotrope; et tout gaz distribué homogène et isotrope.

La première solution de Schwarzschild (symétrique sphériquement) ne contient pas de singularité de coordonnées sur une surface qui porte maintenant son nom. En coordonnées de Schwarzschild, cette singularité se situe sur la sphère des points d’un rayon particulier, appelée rayon de Schwarzschild :

R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s} = {\frac{2GM}{c^{2}}}}

où G est la constante gravitationnelle, M est la masse du corps central et c est la vitesse de la lumière dans le vide. Dans les cas où le rayon du corps central est inférieur au rayon de Schwarzschild, R s{\displaystyle R_{s}}

représente le rayon dans lequel tous les corps massifs, et même les photons, doivent inévitablement tomber dans le corps central (en ignorant les effets de tunnel quantiques près de la limite). Lorsque la densité de masse de ce corps central dépasse une limite particulière, il déclenche un effondrement gravitationnel qui, s’il se produit avec une symétrie sphérique, produit ce qu’on appelle un trou noir de Schwarzschild. Cela se produit, par exemple, lorsque la masse d’une étoile à neutrons dépasse la limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (environ trois masses solaires).