La distance limite à laquelle un satellite peut s’approcher sans se briser dépend de la rigidité du satellite. À un extrême, un satellite complètement rigide conservera sa forme jusqu’à ce que les forces de marée le brisent. À l’autre extrême, un satellite très fluide se déforme progressivement, entraînant une augmentation des forces de marée, ce qui provoque un allongement du satellite, aggravant encore les forces de marée et le faisant se briser plus facilement.

La plupart des satellites réels se situeraient quelque part entre ces deux extrêmes, la résistance à la traction rendant le satellite ni parfaitement rigide ni parfaitement fluide. Par exemple, un astéroïde de tas de gravats se comportera plus comme un fluide que comme un solide rocheux; un corps glacé se comportera assez rigidement au début, mais deviendra plus fluide à mesure que le chauffage par les marées s’accumulera et que ses glaces commenceront à fondre.

Mais notez que, telle que définie ci-dessus, la limite de Roche désigne un corps maintenu ensemble uniquement par les forces gravitationnelles qui provoquent la coalescence de particules autrement non connectées, formant ainsi le corps en question. La limite de Roche est également généralement calculée pour le cas d’une orbite circulaire, bien qu’il soit simple de modifier le calcul pour s’appliquer au cas (par exemple) d’un corps passant le primaire sur une trajectoire parabolique ou hyperbolique.

Calcul par satellite rigide

La limite de Roche à corps rigide est un calcul simplifié pour un satellite sphérique. Les formes irrégulières telles que celles de déformation de marée sur le corps ou les orbites primaires de celui-ci sont négligées. Il est supposé être en équilibre hydrostatique. Ces hypothèses, bien qu’irréalistes, simplifient grandement les calculs.

La limite de Roche pour un satellite sphérique rigide est la distance, d{\displaystyle d}

, du primaire à laquelle la force gravitationnelle sur une masse d’essai à la surface de l’objet est exactement égale à la force de marée qui éloigne la masse de l’objet: d = R M (2 ρ M ρm) 1 3 {\displaystyle d = R_ {M}\ gauche (2 {\frac {\rho_{M}} {\rho_{m}}} \ droite) ^ {\frac {1} {3}}}

où R M {\displaystyle R_{M}}

est le rayon du primaire, ρ M {\displaystyle\rho_{M}}

est la densité de le primaire, et ρ m {\displaystyle\rho_{m}}

est la densité du satellite. Cela peut être écrit de manière équivalente comme d = R m(2 M M M M) 1 3 {\displaystyle d = R_ {m}\ left(2 {\frac {M_{M}}} {M_{m}}} \right) ^ {\frac {1} {3}}}

où R m {\displaystyle R_{m}}

est le rayon du secondaire, M M {\displaystyle M_{M}}

est la masse du primaire, et M m {\displaystyle M_{m}}

est la masse du secondaire.

Cela ne dépend pas de la taille des objets, mais du rapport des densités. Il s’agit de la distance orbitale à l’intérieur de laquelle le matériau meuble (par exemple le régolithe) à la surface du satellite le plus proche du primaire serait retiré, et de même le matériau du côté opposé au primaire s’éloignerait également du satellite plutôt que vers celui-ci.

Notez qu’il s’agit d’un résultat approximatif car la force d’inertie et la structure rigide sont ignorées dans sa dérivation.

La période orbitale ne dépend alors que de la densité du secondaire:

P = 2 π (d 3 G M M) 1 / 2 = 2 π (d 3 (4 / 3) π G R M 3 ρ M) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P = 2\pi\ gauche ({\frac{d^{3}} {GM_{M}}} \ droite) ^{1/2} = 2\pi\ gauche ({\frac{d^{3}}{(4/3)\ pi GR_{M}^{3}\rho_{M}}}\ droite) ^{1/2} = {\sqrt{\frac{6\pi} {G\rho_{M}}}}}}

où G est la constante gravitationnelle. Par exemple, une densité de 3.346 g / cc (la densité de notre lune) correspond à une période orbitale de 2,552 heures.

Dérivation de la formulaEdit

Afin de déterminer la limite de Roche, considérons une petite masse u {\displaystyle u}

sur la surface du satellite le plus proche du primaire. Il y a deux forces sur cette masse u {\displaystyle u}

: l’attraction gravitationnelle vers le satellite et l’attraction gravitationnelle vers le primaire. Supposons que le satellite est en chute libre autour du primaire et que la force de marée est le seul terme pertinent de l’attraction gravitationnelle du primaire. Cette hypothèse est une simplification car la chute libre ne s’applique vraiment qu’au centre planétaire, mais suffira pour cette dérivation.

L’attraction gravitationnelle F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

sur la masse u {\displaystyle u}

vers le satellite de masse m {\displaystyle m }

et rayon r {\displaystyle r}

peut être exprimé selon la loi de gravitation de Newton. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_ {\text{G}} = {\frac{Gmu}{r^{2}}}}

la force de marée F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

sur la masse u {\displaystyle u}

vers le primaire de rayon R {\displaystyle R}

et la masse M {\displaystyle M}

, à une distance d {\displaystyle d}

entre les centres des deux corps, peut être exprimé approximativement comme F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_ {\text{T}} = {\frac{2GMur}{d^{3}}}}

.

Pour obtenir cette approximation, trouvez la différence d’attraction gravitationnelle du primaire sur le centre du satellite et sur le bord du satellite le plus proche du primaire:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

Dans l’approximation où r ≪R {\displaystyle r\ll R}

et R <d {\displaystyle R < d}

, on peut dire que le r 2 {\displaystyle r ^{2}}

, on peut dire que le r 2 {\displaystyle r ^{2}}

dans le numérateur et chaque terme avec r{\displaystyle r}

dans le dénominateur va à zéro, ce qui nous donne: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

ou

G m u r 2 = 2 G m u r d 3 {\displaystyle {\frac{Gmu} {r^{2}}}= {\frac{2GMur} {d^{3}}}}

,

qui donne la limite de Roche, d {\displaystyle d}

, comme d= r(2 M m) 1 3 {\displaystyle d= r\left(2\, {\frac{M}{m}}\right) ^ {\frac{1}{3}}}

Le rayon du satellite ne doit pas apparaître dans l’expression de la limite, il est donc réécrit en termes de densités.

Pour une sphère, la masse M {\displaystyle M}

peut s’écrire comme M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M = {\frac{4\pi\rho_ {M}R^{3}}{3}}}

où R {\displaystyle R}

est le rayon du primaire.

Et de même

m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4\pi\rho _ {m}r^{3}}{3}}}

où r {\displaystyle r}

est le rayon du satellite.

En remplaçant les masses dans l’équation pour la limite de Roche, et en annulant 4 π/3 {\displaystyle 4\pi/3}

donne d = r(2 ρ M R 3 ρ m r 3) 1/3 {\displaystyle d = r\left({\frac {2\rho_ {M} R^ {3}} {\rho _{m}r^{3}}} \right) ^{1/3}}

,

qui peut être simplifié à la limite de Roche suivante:

d =R(2 ρ M ρ m) 1 3 ≈1.26 R(ρ M ρ m) 1 3 {\displaystyle d = R \ gauche (2\, {\frac {\rho_{M}} {\rho_{m}}} \ droite) ^ {\frac {1} {3}} \ environ 1,26 R \ gauche ({\frac {\rho_{M}} {\rho_{m}}} \ droite) ^ {\frac{1} {3}}}

.

Une formule plus précisedit

Étant donné qu’un satellite proche sera probablement en orbite sur une orbite presque circulaire avec une rotation synchrone, considérez comment la force centrifuge résultant de la rotation affectera les résultats. Cette force est

F C = ω 2 u r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C} = \omega^{2} ur ={\frac{GMur}{d^{3}}}}

et elle est ajoutée à FT. Le calcul de l’équilibre des forces donne ce résultat pour la limite de Roche :

d = R M(3 ρ M ρ m) 1 3 ≈ 1,442 R M (ρM ρm) 1 3 {\displaystyle d = R_{M}\ left(3\; {\frac {\rho_{M}} {\rho_{m}}}\right) ^ {\frac {1} {3}} \approx 1.442R_{M}\left ({\frac{\rho _ {M}} {\rho_{m}}}\droite) ^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

ou: d = R m (3 M M M M) 1 3 ≈ 1,442 R m (M M M M) 1 3 {\displaystyle d = R_ {m} \ gauche (3\; {\frac {M_{M}}} {M_{m}}} \ droite) ^ {\frac {1} {3}} \ environ 1.442R_ {m} \ gauche ({\frac {M_{M}} {M_{m}}} \ droite) ^ {\frac {1}{3}}}

………. (2)

Utiliser m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4\pi\rho _ {m}r^{3}}{3}}}

(où r {\displaystyle r}

est le rayon du satellite) pour remplacer ρ m {\displaystyle\rho_{m}}

dans la formule (1), on peut avoir une troisième formule:
d =(9 M M 4 π ρ m) 1 3 ≈ 0,8947 (M M ρ m) 1 3 {\displaystyle d = \left({\frac{9M_{M}} {4\pi\rho_{m}}} \right) ^ {\frac{1}{3} }\ environ 0.8947\left({\frac{M_{M}} {\rho_{m}}}\right) ^{\frac{1}{3}}}

………. (3)

Ainsi, il suffit d’observer la masse de l’étoile (planète) et d’estimer la densité de la planète (satellite) pour calculer la limite de Roche de la planète (satellite) dans le système stellaire (planétaire).

Limite de Roche, Sphère de colline et rayon de la planétEdit

Considérons une planète avec une densité de ρ m {\displaystyle\rho_{m}}

et un rayon de r {\displaystyle r}

, en orbite autour d’une étoile withis est la signification physique de la limite de Roche, lobe de Roche et sphère de colline.

La formule (2) peut être décrite comme suit: R Roche = R Colline 3 M m 3 = R secondaire 3 M m 3 {\displaystyle R_ {\text {Roche}} = R_ {\text{Colline}} {\sqrt {\frac{3M}{m}}}=R_ {\text {secondaire}} {\sqrt {\frac{3M}{m}}}}

, une symétrie mathématique parfaite.
C’est la signification astronomique de la limite de Roche et de la sphère de Colline.

Note : Roche limit et Hill sphere sont complètement différentes l’une de l’autre mais sont toutes deux l’œuvre d’Édouard Roche.

La sphère de colline d’un corps astronomique est la région dans laquelle elle domine l’attraction des satellites tandis que la limite de Roche est la distance minimale à laquelle un satellite peut s’approcher de son corps primaire sans que la force de marée ne surmonte la gravité interne qui maintient le satellite ensemble.

Remarque : Roche limit et Hill sphere sont complètement différentes l’une de l’autre mais sont toutes deux l’œuvre d’Édouard Roche.

La sphère de colline d’un corps astronomique est la région dans laquelle elle domine l’attraction des satellites tandis que la limite de Roche est la distance minimale à laquelle un satellite peut s’approcher de son corps primaire sans que la force de marée ne surmonte la gravité interne qui maintient le satellite ensemble.

Satellites fluidesmodifier

Une approche plus précise pour calculer la limite de Roche prend en compte la déformation du satellite. Un exemple extrême serait un satellite liquide verrouillé en orbite autour d’une planète, où toute force agissant sur le satellite le déformerait en un sphéroïde allongé.

Le calcul est complexe et son résultat ne peut pas être représenté dans une formule algébrique exacte. Roche lui-même a dérivé la solution approximative suivante pour la limite de Roche :

d ≈ 2,44 R (ρ M ρ m) 1 / 3 {\displaystyle d\environ 2,44R\ gauche ({\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}} \droite) ^ {1/3}}

Cependant, une meilleure approximation qui tient compte de l’oblat du primaire et de la masse du satellite est :

d ≈ 2,423 R (ρ M ρ m) 1 / 3 ((1 + m 3 M) + c 3 R (1 +m M) 1−c/R) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.423R\gauche({\frac{\rho_{M}} {\rho_{m}}} \ droite) ^{1/3} \ gauche({\frac{(1+{\frac{m}{3M}}) + {\frac{c} {3R}} (1+ {\frac{m}{M}})} {1-c/R}}\ droite) ^{1/3}}

où c/R {\displaystyle c/R}

est l’oblat du primaire. Le facteur numérique est calculé à l’aide d’un ordinateur.

La solution fluide convient aux corps qui ne sont que faiblement maintenus ensemble, comme une comète. Par exemple, l’orbite en décomposition de la comète Shoemaker–Levy 9 autour de Jupiter est passée à l’intérieur de sa limite de Roche en juillet 1992, ce qui l’a fragmentée en plusieurs morceaux plus petits. Lors de sa prochaine approche en 1994, les fragments se sont écrasés sur la planète. Shoemaker-Levy 9 a été observé pour la première fois en 1993, mais son orbite indiquait qu’il avait été capturé par Jupiter quelques décennies auparavant.

Dérivation des formulaesdit

Comme le cas du satellite fluide est plus délicat que celui du satellite rigide, le satellite est décrit avec quelques hypothèses simplificatrices. Tout d’abord, supposons que l’objet soit constitué d’un fluide incompressible de densité constante ρ m {\displaystyle\rho_{m}}

et de volume V {\displaystyle V}

qui ne dépendent pas des forces externes ou internes.

Deuxièmement, supposons que le satellite se déplace sur une orbite circulaire et qu’il reste en rotation synchrone. Cela signifie que la vitesse angulaire ω{\displaystyle\omega}

à laquelle elle tourne autour de son centre de masse est la même que la vitesse angulaire à laquelle elle se déplace autour du barycentre global du système.

La vitesse angulaire ω{\displaystyle\omega}

est donnée par la troisième loi de Kepler : ω 2 = G M + m d 3. {\displaystyle\omega^{2} = G\, {\frac{M+m}{d^{3}}}.}

Lorsque M est beaucoup plus grand que m, ce sera proche de

ω 2 = G M d 3. {\displaystyle\omega^{2} = G\, {\frac{M}{d^{3}}}.}

La rotation synchrone implique que le liquide ne bouge pas et le problème peut être considéré comme statique. Par conséquent, la viscosité et le frottement du liquide dans ce modèle ne jouent pas de rôle, car ces quantités ne joueraient un rôle que pour un fluide en mouvement.

Compte tenu de ces hypothèses, les forces suivantes doivent être prises en compte:

• La force de gravitation due au corps principal;
• la force centrifuge dans le système de référence rotatif; et
• le champ d’auto-gravitation du satellite.

Comme toutes ces forces sont conservatrices, elles peuvent être exprimées au moyen d’un potentiel. De plus, la surface du satellite est équipotentielle. Sinon, les différences de potentiel engendreraient des forces et des mouvements de certaines parties du liquide à la surface, ce qui contredit l’hypothèse du modèle statique. Compte tenu de la distance du corps principal, la forme de la surface qui satisfait à la condition équipotentielle doit être déterminée.

Comme l’orbite a été supposée circulaire, la force gravitationnelle totale et la force centrifuge orbitale agissant sur le corps principal s’annulent . Cela laisse deux forces: la force de marée et la force centrifuge de rotation. La force de marée dépend de la position par rapport au centre de masse, déjà considérée dans le modèle rigide. Pour les petits corps, la distance des particules liquides par rapport au centre du corps est faible par rapport à la distance d au corps principal. Ainsi, la force de marée peut être linéarisée, ce qui donne la même formule pour FT que celle donnée ci-dessus.

Alors que cette force dans le modèle rigide ne dépend que du rayon r du satellite, dans le cas du fluide, tous les points de la surface doivent être pris en compte, et la force de marée dépend de la distance Δd du centre de masse à une particule donnée projetée sur la ligne joignant le satellite et le corps principal. On appelle Δd la distance radiale. Puisque la force de marée est linéaire en Δd, le potentiel connexe est proportionnel au carré de la variable et pour m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

nous avons V T = − 3 G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{T} = – {\frac {3GM}{2d^{3}}} \ Delta d^{2 }\,}

De même, la force centrifuge a un potentiel

V C =−1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{C} = – {\frac{1}{2}}\omega^{2} \Delta d^{2} = – {\frac{GM}{2d^{3}}} \ Delta d^{2}\,}

pour la vitesse angulaire de rotation ω{\displaystyle\omega}

.

Nous voulons déterminer la forme du satellite pour lequel la somme du potentiel d’auto-gravitation et de VT+VC est constante à la surface du corps. En général, un tel problème est très difficile à résoudre, mais dans ce cas particulier, il peut être résolu par une estimation habile en raison de la dépendance carrée du potentiel de marée sur la distance radiale Δd à une première approximation, on peut ignorer le potentiel centrifuge VC et ne considérer que le potentiel de marée VT.

Comme le potentiel VT ne change que dans une direction, c’est-à-dire la direction vers le corps principal, on peut s’attendre à ce que le satellite prenne une forme axialement symétrique. Plus précisément, on peut supposer qu’il prend une forme de solide de révolution. L’auto-potentiel à la surface d’un tel solide de révolution ne peut dépendre que de la distance radiale au centre de masse. En effet, l’intersection du satellite et d’un plan perpendiculaire à la droite joignant les corps est un disque dont la limite par nos hypothèses est un cercle de potentiel constant. Si la différence entre le potentiel d’auto-gravitation et VT est constante, les deux potentiels doivent dépendre de la même manière de Δd. En d’autres termes, le potentiel propre doit être proportionnel au carré de Δd. On peut alors montrer que la solution équipotentielle est un ellipsoïde de révolution. Étant donné une densité et un volume constants, l’auto-potentiel d’un tel corps ne dépend que de l’excentricité ε de l’ellipsoïde:

V s = V s 0 + G π ρ m ⋅ f(ε) Δ δ d 2, {\displaystyle V_ {s} = V_ {s_{0}} + G\pi\rho _ {m}\cdot f(\varepsilon) \cdot\Delta d ^{2},}

où V s 0 {\displaystyle V_ {s_{0}}}

est l’auto-potentiel constant à l’intersection du bord circulaire du corps et du plan de symétrie central donnée par l’équation Δd = 0.

La fonction sans dimension f doit être déterminée à partir de la solution précise pour le potentiel de l’ellipsoïde

f(ε) = 1−ε 2 ε 3 { {\displaystyle f(\varepsilon) = {\frac{1-\varepsilon^{2}} {\varepsilon^{3}}} \cdot\left}

et, assez étonnamment, ne dépend pas du volume du satellite.

Bien que la forme explicite de la fonction f semble compliquée, il est clairque nous pouvons et choisissons la valeur de ε pour que le potentiel VT soit égal à VS plus une constante indépendante de la variable Δd. Par inspection, cela se produit lorsque

2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f (ε) {\displaystyle {\frac {2G\pi\rho_{M} R ^{3}} {d^{3}}} = G\pi\rho _ {m}f(\varepsilon)}

Cette équation peut être résolue numériquement. Le graphique indique qu’il y a deux solutions et donc la plus petite représente la forme d’équilibre stable (l’ellipsoïde avec la plus petite excentricité). Cette solution détermine l’excentricité de l’ellipsoïde de marée en fonction de la distance au corps principal. La dérivée de la fonction f a un zéro où l’excentricité maximale est atteinte. Cela correspond à la limite de Roche.

Plus précisément, la limite de Roche est déterminée par le fait que la fonction f, qui peut être considérée comme une mesure non linéaire de la force de compression de l’ellipsoïde vers une forme sphérique, est bornée de sorte qu’il existe une excentricité à laquelle cette force de contraction devient maximale. Étant donné que la force de marée augmente lorsque le satellite s’approche du corps principal, il est clair qu’il existe une distance critique à laquelle l’ellipsoïde est déchiré.

L’excentricité maximale peut être calculée numériquement comme le zéro de la dérivée de f’. On obtient

ε max ≈ 0. 86 {\displaystyle\varepsilon_ {\text{max}}\approx 0 {.}86}

qui correspond au rapport des axes ellipsoïdes 1:1,95. En l’insérant dans la formule de la fonction f, on peut déterminer la distance minimale à laquelle l’ellipsoïde existe. C’est la limite de Roche,

d ≈ 2. 423 R R ρ ρ m ρ m 3. {\displaystyle d\approx 2 {.}423\cdot R\cdot {\sqrt{\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}}\,.}

Étonnamment, y compris le potentiel centrifuge fait remarquablement peu de différence, bien que l’objet devienne un ellipsoïde de Roche, un ellipsoïde triaxial général avec tous les axes ayant des longueurs différentes. Le potentiel devient une fonction beaucoup plus compliquée des longueurs d’axes, nécessitant des fonctions elliptiques. Cependant, la solution se déroule beaucoup comme dans le cas de marée seule, et on trouve

d ≈ 2. 455 R R ρ ρ M ρ m 3. {\displaystyle d\approx 2 {.}455\cdot R\cdot {\sqrt{\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}}\,.}