Abbiamo visto che un sistema meccanico soggetto a forze conservative è in equilibrio quando le derivate dell’energia potenziale rispetto alle coordinate sono zero. Un metodo per risolvere tali problemi, quindi, è scrivere un’espressione per l’energia potenziale e mettere i derivati uguali a zero.

Un metodo molto simile è usare il principio del lavoro virtuale. In questo metodo, immaginiamo di agire sul sistema in modo tale da aumentare una delle coordinate. Immaginiamo, ad esempio, cosa succederebbe se allungassimo una delle molle, o aumentassimo l’angolo tra due aste snodate, o l’angolo che la scala fa mentre si appoggia al muro. Ci chiediamo quanto lavoro dobbiamo fare sul sistema per aumentare questa coordinata di una piccola quantità. Se il sistema parte dall’equilibrio, questo lavoro sarà molto piccolo e, nel limite di uno spostamento infinitesimale, questo “lavoro virtuale” sarà zero. Questo metodo è molto poco diverso dall’impostare la derivata dell’energia potenziale a zero. Lo menziono qui, tuttavia, perché il concetto potrebbe essere utile nel Capitolo 13 nel descrivere il principio variazionale di Hamilton.

Iniziamo facendo un semplice problema di ladder con il metodo del lavoro virtuale. La solita scala uniforme della fisica delle scuole superiori, di lunghezza \( 2l\) e peso \( mg\), si appoggia nel limitare l’equilibrio statico contro la solita parete verticale liscia e il pavimento orizzontale ruvido il cui coefficiente di limitazione dell’attrito statico è \( \mu\). Qual è l’angolo \(\theta\) che la scala fa con la parete verticale?

Ci sono diversi modi per farlo, che saranno familiari a molti lettori. L’unico piccolo promemoria che io darò è per sottolineare che, se si vogliono unire le due forze piedi della scala in un’unica forza che agisce verso l’alto e un po ‘ a sinistra, in modo che non ci sono poi solo tre forze che agiscono su per la scala, le tre forze deve agire attraverso un unico punto, che sarà al di sopra della metà della scala e a destra del punto di contatto con la parete. Ma ora siamo interessati a risolvere questo problema con il principio del lavoro virtuale.

Prima di iniziare, dovrei avvertire che è importante usare il principio del lavoro virtuale per essere meticolosamente attenti ai segni, e a questo proposito ricordo ai lettori che nel calcolo differenziale i simboli \( \delta\) e \( d\) di fronte a una quantità scalare \( x\) non significano “un piccolo cambiamento in” o “un cambiamento infinitesimale” in \( x\). Tale linguaggio è vago. I simboli stanno per “un piccolo aumento in” e “un aumento infinitesimale in”.

Prendiamo nota delle seguenti distanze:

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e

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e

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inoltre, se dovesse aumentare la \( \theta\) da \( \delta\theta\), il lavoro fatto dalla forza in C sarebbe \( g\) volte il diminuire della distanza di CD, e il lavoro fatto dalla forza di attrito all’indirizzo E sarebbe meno \( \mu mg\) volte l’aumentare della distanza. Le altre due forze non funzionano. Così il virtuale “lavoro” compiuto da forze esterne sulla scala è

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mettere l’espressione per il lavoro virtuale a zero, otteniamo

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Si dovrebbe verificare che questa è la stessa risposta che si ottiene da altri metodi, il più semplice dei quali è probabilmente quello di prendere momenti E.

C’è qualcosa di lavoro virtuale che mi ricorda della termodinamica. La prima legge della termodinamica, ad esempio, è \( \Delta U=\Delta q+\Delta w\), dove \( \Delta U\) è l’aumento dell’energia interna del sistema, \ (\Delta q\) è il calore aggiunto al sistema e \( \Delta w\) è il lavoro svolto sul sistema. Le preposizioni svolgono un ruolo importante nella termodinamica. È sempre obbligatorio indicare chiaramente e senza ambiguità se il lavoro viene svolto dal pistone sul gas o dal gas sul sistema; o se il calore viene guadagnato dal sistema o perso da esso. Senza queste preposizioni, ogni discussione non ha senso. Allo stesso modo nel risolvere un problema con il principio del lavoro virtuale, è sempre essenziale dire se si sta descrivendo il lavoro svolto da una forza su quale parte del sistema (sulla scala o sul pavimento?) e se stai descrivendo un aumento o una diminuzione di una certa lunghezza o angolo.

Passiamo ora a un problema leggermente più difficile, che proveremo con tre diversi metodi, incluso quello del lavoro virtuale.

Nella Figura IX.5, un’asta uniforme AB di peso \( Mg\) e lunghezza \( 2a\) è liberamente incernierata ad A. L’estremità B porta un anello liscio di massa trascurabile. Una stringa leggera inestensibile di lunghezza \ (l\) ha un’estremità attaccata a un punto fisso C allo stesso livello di A e distante \( 2a\) da esso. Passa attraverso l’anello e porta all’altra estremità un peso \( \frac{1}{10}Mg\) appeso liberamente. (L’anello” liscio ” significa che la tensione nella corda è la stessa su entrambi i lati dell’anello.) Trovare la CABINA angolare quando il sistema è in equilibrio.

Ho segnato in vari angoli e lunghezze, che possono essere facilmente determinati dalla geometria del sistema, e ho anche segnato le quattro forze sull’asta.

Proviamo prima un metodo molto convenzionale. Sappiamo piuttosto poco della forza R della cerniera sull’asta (anche se vedi sotto), e quindi questa è una buona ragione per prendere momenti sul punto A. Otteniamo immediatamente

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Ora proviamo lo stesso problema usando le condizioni energetiche. Prenderemo lo zero dell’energia potenziale quando l’asta è orizzontale – momento in cui la piccola massa si trova a una distanza l sotto il livello AC.

\=-\frac{2}{3}Mga(3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

La derivata è

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Ora proviamo con il lavoro virtuale. Aumenteremo \ (\theta\) di \ (\delta \ theta\) e vedremo quanto lavoro è fatto.

Quindi il lavoro virtuale è

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Se mettiamo questo uguale a zero, otteniamo lo stesso risultato di prima.