疫学における区画モデル
SIRモデルは最も単純な区画モデルの一つであり、多くのモデルはこの基本形式の派生物である。 モデルは3つの区画で構成されています：-
S：影響を受けやすい個体の数。 感受性個体および感染性個体が「感染性接触」に入ると、感受性個体は疾患を収縮させ、感染性区画に移行する。 I：感染者の数。 これらは、感染しているし、影響を受けやすい個人に感染することができる個人です。 除去された（および免疫された）または死亡した個人の数のためのR。 これらは、感染しており、病気から回復して除去された区画に入ったか、死亡した個体である。 死亡者数は総人口に対して無視できると仮定されている。 この区画は、「回収された」または「耐性」とも呼ばれます。
このモデルは、ヒトからヒトに伝染する感染症、および回復が麻疹、流行性耳下腺炎および風疹などの持続的な抵抗性を与える感染症について合理的
これらの変数（S、I、およびR）は、特定の時間における各コンパートメントの人数を表します。 感受性、感染性および除去された個体の数が経時的に変化し得ることを表すために（総集団サイズが一定のままであっても）、我々は正確な数をt（時間）の関 特定の集団の特定の病気のために、これらの機能は可能な発生を予測し、制御の下でそれらを持って来るために解決されるかもしれません。
tの変数関数によって暗示されるように、モデルは、各区画内の数値が時間の経過とともに変動する可能性があるという点で動的である。 この動的な側面の重要性は、1968年にワクチンが導入される前の英国の麻疹のような感染期間が短い風土病において最も明白である。 このような疾患は、時間の経過とともに感受性の数（S（t））の変化のために発生のサイクルで発生する傾向がある。 伝染病の間に、敏感な個人の数はそれらの多くが感染し、こうして伝染性および取除かれたコンパートメントに入ると同時に急速に落ちます。 この病気は、感受性の数が回復するまで、例えば感受性の高い区画に生まれた子孫の結果として、再び発症することはできません。
集団の各メンバーは、典型的には感受性から感染性に回復された。 これは、ボックスが異なる区画を表し、矢印が区画間の遷移を表すフロー図として示すことができます。
遷移率編集
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モデルを完全に指定するには、矢印に区画間の遷移率をラベル付けする必要があります。 SとIの間では、遷移率はd(S/N)/dt=-β si/N2であると仮定され、Nは総人口、βは時間あたりの人あたりの平均接触数であり、感受性のある人と感染しやすい人との間の接触における疾患伝達の確率を乗じたものであり、SI/N2は感受性のある人が感染しやすくなる感染しやすい人と感受性のある人との間の接触の割合である。 （これは、分子間のランダムな衝突が化学反応をもたらし、分数速度が二つの反応物の濃度に比例する化学における質量作用の法則に数学的に似てい
IとRの間では、遷移率はyIである感染個体の数に比例すると仮定される。 これは、任意の時間間隔ｄｔにおいて感染性個体が回復する確率が単純にｙｄｔであると仮定することと等価である。 個体が平均期間Ｄの間感染性である場合、λ＝１／Ｄである。 これは、感染状態にある個体が費やす時間の長さが指数分布を持つ確率変数であるという仮定にも相当します。 「古典的な」ＳＩＲモデルは、Ｉ−Ｒ遷移速度のためのより複雑で現実的な分布（例えば、Ｅｒｌａｎｇ分布）を使用することによって修正され得る。
感染区画からの除去がない特別な場合（λ=0）の場合、SIRモデルは、すべての個体が最終的に感染するロジスティック解を有する非常に単純なSIモデ
重要な力学のないSIRモデルedit
インフルエンザなどの流行のダイナミクスは、多くの場合、出生と死のダイナミクスよりもはるかに速いため、単純な区画モデルでは出生と死 上記のいわゆる生命動態（出生と死、時には人口統計と呼ばれる）のないSIRシステムは、次の常微分方程式のセットで表すことができます:
d S d t=−β I S N,d I d t=β I S N−∑I,d R d t=∑I,{\displaystyle{\begin{aligned}&{\frac{dS}{dt}}=-{\frac{\beta IS}{N}},\\&{\frac{dI}{dt}}={\frac{\beta Is}{n}}-\Gamma i,\\&{\frac{dr}{dt}}=\gamma i,\end{aligned}}}
は感受性集団の在庫、I{\displaystyle I}
は感染集団の在庫、R{\displaystyle R}
は除去された集団の在庫（死亡または回復のいずれか）、N{\displaystyle N}
これらの3つの合計です。
このモデルは、William Ogilvy KermackとAnderson Gray McKendrickによって、現在Kermack–McKendrick理論と呼ばれる特別なケースとして初めて提案され、McKendrickがRonald Rossと行っていた作業に従いました。このシステムは非線形ですが、その解析解を暗黙の形式で導出することは可能です。
このシステムは非線形ですが、その解析解を暗黙の形式で導 まず、次のことに注意してください。
d S d t+d I d t+D R d t=0,{\displaystyle{\frac{dS}{dt}}+{\frac{dI}{dt}}+{\frac{dR}{dt}}=0,}
それは次のことになります:
S(t)+I(t)+R(t)=constant=N,{\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,}
数学的には母集団Nの恒常性を表す{\displaystyle N}
。 上記の関係は、三つの変数のうち二つの方程式を研究するだけでよいことを意味することに注意してください。
第二に、我々は、感染性クラスの動態は以下の比に依存することに注意する:
R0=β γ,{\displaystyle R_{0}={\frac{\beta}{\gamma}},}
いわゆる基本再生数（基本再生比とも呼ばれる）。 この比率は、すべての被験者が感受性である集団における単一の感染からの新しい感染（これらの新しい感染は時々二次感染と呼ばれる）の予想数とし この考えは、接触間の典型的な時間がt c=β−1{\displaystyle T_{c}=\beta^{-1}}
であり、除去までの典型的な時間がt r=γ−1{\displaystyle T_{r}=\gamma^{-1}}
{\displaystyle t_{r}=\gamma^{-1}}. ここから、平均して、感染者が除去される前の感染者と他の感染者との接触の数は、t r/t cであることになる。 {\displaystyle T_{r}/T_{c}.}
第一の微分方程式を第三の微分方程式で除算し、変数を分離して積分することにより、
S(t)=S(0)e−R0(R(t)−R(0))/N,{\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}
ここで、s(0){\Displaystyle S(0)}
は、それぞれ感受性のある被験者と除去された被験者の初期番号です。 S0=S(0)/N{\displaystyle s_{0}=S(0)/N}
感受性個体の初期割合に対して、s λ=S(Λ)/N{\displaystyle s_{\infty}=S(\infty)/N}
とR λ=r(λ)/n{\displaystyle r_{\infty}=R(\infty)/n}
それぞれの極限t→λ,{\displaystyle t\to\infty,}内の影響を受けやすい個体と除去された個体の割合について
一つはs λ=1−r λ=s0e−R0(r λ−r0){\displaystyle s_{\infty}=1-r_{\infty}=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty}-r_{0})}}
（感染性コンパートメントはこの限界内で空になることに注意）。この超越方程式は、ランベルトW関数の解、すなわち
s∞=1−r∞=−R0−1W(-s0R0e−R0(1−r0))を持つ。 {\displaystyle s_{\infty}=1-r_{\infty}=-R_{0}e{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})})である。}
でない限り、集団のすべての個体が除去されているわけではないので、いくつかは感受性を維持しなければならないことを示している。 流行の終わりにつながる原動力は、感染者の数の減少です。 流行は、典型的には、影響を受けやすい個人の完全な欠如のために終了しません。
基本的な再生数と初期感受性の両方の役割は非常に重要です。 実際、感染者の方程式を次のように書き直すと:
次の場合が得られます。
r0≤s(0)>n,{\Displaystyle r_{0}\cdot s(0)>n,}
次に:
d I d t(0)>0,{\displaystyle{\frac{dI}{dt}}(0)>0,}
すなわち、（人口のかなりの部分に到達することができます）感染の数の増加と適切な流行の流行。 逆に、
R0≤S(0)<N,{\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}
ならば、
0,{\displaystyle{\frac{di}{Dt}}(0)<0,}
すなわち、影響を受けやすい人口の初期サイズこの病気は、適切な流行の流行を引き起こすことはありません。 結果として、基本的な再生数と初期感受性の両方が非常に重要であることは明らかである。
the force of infectionEdit
上記のモデルでは、関数
F=β I,{\displaystyle F=\beta I,}
は、感受性個体のコンパートメントから感染個体のコンパートメントへの遷移速度をモデル化し、感染力と呼ばれるようにしている。 しかし、大規模な伝染病のクラスでは、感染者の絶対数ではなく、その割合（全定数集団N{\displaystyle N}
に対する）に依存する感染力を考慮する方が現実的である。 {\displaystyle F=\beta{\frac{I}{N}}。}
Sirモデルへの正確な解析解編集
2014年、Harkoと共著者はSIRモデルに正確ないわゆる解析解（数値的にしか計算できない積分を含む）を導 バイタルダイナミクスが設定されていない場合、s(u)=S(t){\displaystyle{\mathcal{S}}(u)=S(t)}
などである。 これは、次の時間パラメータ化S(u)=S(0)u{\displaystyle{\mathcal{S}}(u)=S(0)u}
I(u)=N−R(u)-S(u){\displaystyle{\mathcal{I}}(u)=N-{\mathcal{R}}(U)=N-{\mathcal{R}}(U)=N-{\mathcal{R}}(U)=N-{\mathcal{R}}(U)=n-{\mathcal{R}}(U)=n-{\mathcal{R}}(U)=n-{\mathcal{R}}(U)=n-{\mathcal{R}{\Mathcal{I}}(U)=n-{\mathcal{r}}(U)-{\mathcal{S}}(u)}
r(U)=R(0)-∞Ln(U){\Displaystyle{\mathcal{R}}(u)=R(0)-\Rho\ln(U)}
for
t=N β∫u1d u∗u∗I(u∗)ρ=γ N β,{\displaystyle t={\frac{N}{\beta}}\int_{u}^{1}{\frac{du^{*}}{u^{*}{\mathcal{I}}(u^{*})}},\quad\rho={\frac{\gamma N}{\beta}},}
初期状態
(S(1),(1),R(1))=(S(0)、N−R(0)−S(0),R(0)）、u T<u<1,{\displaystyle({\mathcal{S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}
where u T {\displaystyle u_{T}}
satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}
. を超越方程式R∞{\displaystyle R_{\infty}}
上、ということでu T=e(R∞−R(0))/ρ(=S∞/S(0){\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty}-R(0))/\rho}(=S_{\infty}/S(0)}
そうでない場合、S(0)≠0){\displaystyle S(0)\neq0)}
とい∞=0{\displaystyle I_{\infty}=0}
と同等のいわゆる解析ソリューション(伴積分しかできないの数値計算により発見されたミラーの収穫量
S(t)=S(0)e−ξ(t)(t)=N−S(t)−R(t)R(t)=R(0)+ρ ξ(t)ξ(t)=β N∫0t I t∗) d t∗{\displaystyle{\begin{揃え}S(t)&=S(0)e^{-\xi(t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho\xi(t)\\\xi(t)&={\frac{\beta}{N}}\int_{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{揃え}}}
は、時間t{\displaystyle t}
までに個人が受信した予想される送信数と解釈することができる。 2つの解はe−π(t)=u{\displaystyle e^{-\xi(t)}=u}
によって関連づけられる。
効果的に同じ結果がKermackとMcKendrickによる元の作品で見つけることができます。
これらの解は、元の微分方程式の右辺のすべての項がI{\displaystyle I}
に比例することに注意することで容易に理解できる。 したがって、方程式はI{\displaystyle I}
で除算され、左側の微分作用素が単純にd/d{\displaystyle d/d\tau}
となるように時間が再スケーリングされる。idt}
、すなわちλ=λ i d t{\displaystyle\tau=\int idt}
。 微分方程式はすべて線形であり、第三の方程式はd R/d τ={\displaystyle dR/d\tau=}
constの形式である。 これは、τ{\displaystyle\tau}
とR{\displaystyle R}
（上記のτ{\displaystyle\xi}
）が単純に線形関係であることを示している。
Sirモデルの高精度な解析近似値はKrögerとSchlickeiserによって提供されたため、SIRモデルを解くために数値積分を実行したり、既存のデータからパラメータを取得したり、SIRモデルによってモデル化された流行の将来のダイナミクスを予測したりする必要はありません。 近似には、Microsoft Excel、MATLAB、Mathematicaなどのすべての基本的なデータ可視化ソフトウェアの一部であるLambert W関数が含まれます。
生命動態と人口定数を持つSIRモデル編集
死亡率μ{\displaystyle\mu}
と出生率Μ{\displaystyle\Lambda}
によって特徴付けられる人口を考えてみましょう。 質量作用伝達を備えたモデルは次のとおりです。: d S d t=Λ μ S−β I S N d I d t=β I S N−γ I−μ I d R d t=γ I−μ R{\displaystyle{\begin{揃え}{\frac{dS}{dt}}&=\Lambda-\mu S-{\frac{\betaは}{N}}\\{\frac{dI}{dt}}&={\frac{\betaは}{N}}-\gamma I\mu I\\{\frac{dR}{dt}}&=\gamma I\mu R\end{揃え}}}
無病平衡（DFE）は次のとおりです。
（S（t）、I（t）、R（t））=（Λ、0、0）。 {\displaystyle\left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac{\Lambda}{\mu}},0,0\right). Lambda S（t）、I（t）、R（t）\right）=\left（{\frac{\Lambda}{\mu}}、0,0\right）。
この場合、基本的な再生数を導出することができる：
R0=β π+γ,{\displaystyle R_{0}={\frac{\beta}{\mu+\gamma}},}
しきい値特性を持つ。 実際、生物学的に意味のある初期値とは独立して、次のことを示すことができます:
R0≤1⇒lim t→∞(S(t)(t),R(t)=DFE=(Λ μ,0,0){\displaystyle R_{0}\leq1\Rightarrow\lim_{t\to\infty}S(t)(t),R(t)={\textrm{DFE}}=\left({\frac{\Lambda}{\mu}},0,0\right)}
R0>>0⇒lim t→∞(S(t)(t),R(t)=EE=(γ+μ β、μ β(R0−1)、γ β(R0−1)). {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow\lim_{t\to\infty}(S(t),I(t),R(t))={\textrm{EE}}=\left({\frac{\gamma+\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}},{\{\ガンマ}{\ベータ}}\左（r_{0}-1\右）\右）。{\displaystyle R_{0}1,I(0)0\Rightarrow\lim_{t\to\infty}(S(t),I(t),R(t))={\textrm{EE}}=\left({\frac{\gamma+\mu}{\beta}},{\frac{\mu}{\beta}}\left(R_{0}-1\right),{\frac{\gamma+\mu}{\beta}}\right),{\frac{\gamma+\mu}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}}\right),{\frac{\gamma}{\beta}r_{0}-1\right）\right）。}
ポイントEEは風土病平衡と呼ばれています（病気は完全に根絶されておらず、人口に残っています）。 発見的な議論によって、R0{\displaystyle R_{0}}
は、完全に感受性のある集団における単一の感染者によって引き起こされた感染の平均数として読むことができ、上記の関係は生物学的には、この数が1以下であれば病気は絶滅し、この数が1より大きい場合は病気は集団内で永続的に風土病のままであることを意味する。
The SIR modelEdit
, and rates for infection β = 0.4 {\textstyle \beta =0.4}
and for recovery γ = 0.04 {\textstyle \gamma =0.04}
、および回復率γ=0.04{\textstyle\gamma=0.04}
….. アニメーションは、β=0.5{\textstyle\beta=0.5}
にβ=0.12{\textstyle\beta=0.12}
。 薬やワクチン接種がない場合は、社会的距離などの適切な措置によって感染率を低下させること（しばしば「曲線の平坦化」と呼ばれる）のみが可能で
1927年、W.O.KermackとA.G.McKendrickは、3つの区画のみを持つ固定された人口を考慮したモデルを作成した：感受性,S(t){\displaystyle S(t)}
; 感染したI(t){\displaystyle I(t)}
;回復したR(t){\displaystyle R(t)}
。
- S(t){\displaystyle s(t)}
は、t時点でまだ病気に感染していない個体、または集団の病気に罹患しやすい個体を表すために使用される。
- I(t){\displaystyle I(t)}
は、この病気に感染しており、罹患しやすいカテゴリーの人々に病気を広げることができる集団の個人を示します。
- R(t){\displaystyle R(t)}
は、免疫または死亡のために感染し、病気から取り除かれた集団の個人のために使用されるコンパートメントである。 このカテゴリーの人は、再び感染するか、他の人に感染を送信することができません。
このモデルの流れは次のように考えることができます:
s→I→R{\displaystyle{\color{blue}{{\mathcal{S}}\rightarrow{\mathcal{I}}\rightarrow{\mathcal{R}}}}}
固定母集団を用いて、N=S(t)+I(t)3つの関数では、値n{\displaystyle n}
がシミュレーション内で一定のままでなければならないことが解決されます。SIRモデルを解くために使用されます。 あるいは、シミュレーションを実行せずに解析近似を使用することもできます。 モデルはS(t=0){\displaystyle S(t=0)}
,I(t=0){\displaystyle I(t=0)}
およびR(t=0){\displaystyle r(t=0)}
。 これらは、時間の影響を受けやすい、感染した、削除されたカテゴリの人々の数がゼロに等しいです。 SIRモデルが常に保持されると仮定される場合、これらの初期条件は独立していません。 その後、フローモデルは各時点の3つの変数をβ{\displaystyle\beta}
とγ{\displaystyle\gamma}
の設定値で更新する。 シミュレーションでは、最初に感染したカテゴリを感受性から更新し、次に削除されたカテゴリが感染したカテゴリから次の時点(t=1)に更新されます。 これは、三つのカテゴリ間の流れの人を説明します。 流行の間、感受性のカテゴリーはこのモデルではシフトされず、β{\displaystyle\beta}
は流行の過程で変化し、γ{\displaystyle\gamma}
も変化する。 これらの変数は流行の長さを決定し、各サイクルで更新する必要があります。 d S d t=−β S I N{\displaystyle{\frac{dS}{dt}}=-{\frac{\beta SI}{N}}}
d i d t=β S I N−I{\displaystyle{\frac{dI}{dt}}={\frac{\beta SI}{N}}d r d t=∑i{\displaystyle{\frac{dr}{DT}}=\gamma i}
と等しい割合b{\displaystyle b}
の割合で病気に罹患する他のすべての個体と同じ確率を有するとみなされなければならない。 そして、β{\displaystyle\beta}
をa{\displaystyle a}
とb{\displaystyle b}
の乗算とする。 これは、送信確率に接触率を掛けたものです。 また、感染した個体は単位時間当たりb{\displaystyle b}
人と接触するのに対し、s N{\displaystyle{\frac{S}{N}}}
人のうちの一部のみが感受性である。したがって、すべての感染者がa b S=β S{\displaystyle abS=\beta S}
感受性のある人に感染することができ、したがって、単位時間あたりの感染者に感染する感受性の総数はβ S I{\displaystyle\beta SI}
である。 第二および第三の方程式については、感染したクラスに入る数と等しいとして影響を受けやすいクラスを離れる母集団を考えてみましょう。 しかし、感染者の分数μ{\displaystyle\gamma}
（平均回復/死亡率、または1/γ{\displaystyle1/\gamma}
平均感染期間を表す）に等しい数は、単位時間当たりにこのクラスを離れて除去されたクラスに入る。 同時に起こるこれらのプロセスは、集団行動の法則と呼ばれ、集団内の二つのグループ間の接触率は関係するグループのそれぞれのサイズに比例するという広く受け入れられている考えである。 最後に、感染率および回復率は、出生および死亡の時間スケールよりもはるかに速いと仮定され、したがって、これらの要因はこのモデルでは無視される。
定常解編集
感受性の予想される持続時間はE≤{\displaystyle\operatorname{E}}
ここで、T L{\displaystyle T_{L}}
生きている時間（平均寿命）とt s{\displaystyle t_{s}}
は、感染する前の感受性状態の時間を反映しており、次のように単純化することができる。: E=∫0∞e(μ+δ)x d x=1μ+δ,{\displaystyle\operatorname{E}=\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)x}\,dx={\frac{1}{\mu+\delta}},}
など、数十人の番号の入力の影響室μ N{\displaystyle\mu N}
倍の時間の感受性:S=μ N μ+λ. {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}
斑点の定常状態数は感染者の数が入り、感染した状態から起状態を数値や、倍率の感染λ=β I N,{\displaystyle\lambda={\tfrac{\beta I}{N}},}
倍の時間の感染性1μ+v{\displaystyle{\tfrac{1}{\mu+v}}}
I=μ N μ+λ-λ1μ+v. {\displaystyle I={\frac{\mu N}{\mu+\lambda}}\lambda{\frac{1}{\mu+v}}。}
その他のコンパートメントモデルedit
sirモデルには、回復時に免疫がない（SISモデル）、免疫が短期間しか持続しない（SIRS）、感染していない疾患の潜伏期（SEISおよびSEIR）、乳児が免疫を持って生まれることができる（MSIR）など、多くの変更がある。