このセクションでは、これらの境界条件に対応する\(V({\bf r})\)を計算するための代替アプローチを開発し、構造および空間的に変化する材料特性の近傍におけるスカラーポテンシャル場の解析を容易にする。 この代替的なアプローチは、ポアソン方程式に基づいており、これを導出します。ガウスの法則の微分形式から始めます（セクション5.7）。

:次に、関係（セクション5.14）を適用します。

\yielding\

これはポアソンの方程式ですが、一般的に使用される形式ではありません。 別の形式を得るために、デカルト座標における演算子\(\nabla\cdot\nabla\)を考えてみましょう。

\

実際、ポアソンの方程式は不均一な微分方程式であり、不均一な部分\(-\rho_v/\epsilon\)は体のソースを表します。 材料構造の存在下では、材料間の界面における関連する境界条件を特定し、\(V({\bf r})\)を見つける作業は、関連する境界値問題を解く純粋に数学的な作業に帰着する（このセクションの最後にある”追加の読み取り”を参照）。 このアプローチは、材料の1つが完全な導体である場合、またはそのような材料としてモデル化できる場合に特に効果的です。 これは、このセクションの冒頭で述べたように、完全導体の表面上のすべての点の電位が等しくなければならず、特に単純な境界条件が得られるため

他の多くのアプリケーションでは、電界の原因となる電荷は問題の領域の外にあります。 この場合、ポアソンの方程式はラプラスの方程式に単純化されます:

\

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