M_{m}

セカンダリの質量です。

これは、オブジェクトのサイズではなく、密度の比に依存します。 これは、主に最も近い衛星の表面上の緩い材料（例えばレゴリス）が引き離され、同様に主に反対側の材料も衛星に向かってではなく離れて行く軌道距離である。

慣性力と剛体構造はその導出において無視されるため、これはおおよその結果であることに注意してください。

軌道周期は、二次の密度にのみ依存します。

軌道周期は、二次の密度にのみ依存します:

P=2π(d-3G M)1/2=2π(d3(4/3)π G R M3ρ M)1/2=6π G ρ m{\displaystyle P=2\pi\left({\frac{d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi\left({\frac{d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho_{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt{\frac{6\pi}{G\rho_{m}}}}}

ここでGは重力定数です。 例えば、密度は3である。346g/cc（私たちの月の密度）は2.552時間の軌道周期に対応しています。

formula_4の導出編集

ロシュ極限の導出

ロシュ極限を決定するためには、小さな質量u{\displaystyle u}

プライマリに最も近い衛星の表面にあります。 この質量uには2つの力がある{\displaystyle u}

: 衛星への重力の引きとプライマリへの重力の引き。 衛星がプライマリの周りに自由落下しており、潮汐力がプライマリの重力引力の唯一の関連用語であると仮定します。 この仮定は、自由落下が惑星の中心に真に適用されるだけであるため、単純化されていますが、この導出には十分です。

質量u{\displaystyle u}

質量m{\displaystyle m}

質量m{\displaystyle m}

と半径r{\displaystyle r}

はニュートンの重力の法則に従って表現することができる。 F G=G m u r2{\displaystyle F_{\text{G}}={\frac{Gmu}{r^{2}}}}

潮汐力F T{\displaystyle F_{\text{T}}}

潮汐力F T{\displaystyle F_{\text{T}}}

F_{{\text{t}}}

質量u{\displaystyle u}

半径R{\displaystyle r}

と質量M{\displaystyle m}

,距離D{\displaystyle d}

二つの体の中心の間, 近似的には、F T=2G M u r d3{\displaystyle F_{\text{T}}={\frac{2gmur}{d^{3}}}}

と表すことができる。

この近似を得るには、衛星の中心と一次に最も近い衛星の端での一次の引力の差を求めます:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

ここで、r≠R{\displaystyle r\ll r}

とr<D{\displaystyle r<d}

、R2{\displaystyle r^{2}}

分子とr{\displaystyle r}

分母のすべての項はゼロになり、これは私たちを与えます: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

または

G m u r2=2G M u r d3{\displaystyle{\frac{Gmu}{r^{2}}}={\frac{2gmur}{d^{3}}}}

,

これはロシュを与えるd=r(2m m)1 3{\displaystyle d=r\left(2\,{\frac{m}{m}}\right)){\frac{1}{3}}}

衛星の半径は制限の式には表示されないため、密度の観点から書き直されます。

球面に対して、質量M{\displaystyle M}

はM=4≤m R3 3{\displaystyle m={\frac{4\pi\rho_{m}R}}と書くことができる。^{3}}{3}}}

ここで、R{\displaystyle R}

はプライマリの半径です。

そして同様に

m=4≤m r3 3{\displaystyle m={\frac{4\pi\rho_{m}r}}{\displaystyle m={\frac{4\pi\rho_{m}r}}}^{3}}{3}}}

ここで、r{\displaystyle r}

は衛星の半径です。

代の大衆の方程式のためロシュとの制限、消4π/3{\displaystyle4\pi/3}

をd=r(2ρ M R3ρ m r3)1/3{\displaystyle d=r\left({\frac{2\rho_{M}R^{3}}{\rho_{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

では単純にすることが求められている以下のロシュ社が制限：

d=R(2ρ M p m1 3≈1.26R(√M√m)1 3{\displaystyle d=R\left(2\,{\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)){\frac{1}{3}}\approx1.26r\left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)\frac{1}{3}}}

ddddddddd{\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right）r{{{\frac{\rho_{M}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1}{3}}}}\approx frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{{{\frac{\rho_{M}}}\right)R{{{\frac{\rho_{M}}}\right)R{{{\frac{\rho_{M}}}}\right{1}{3}}}}”>

。

より正確なformulaEdit

近い衛星は同期回転を伴うほぼ円軌道を周回する可能性が高いので、回転からの遠心力が結果にどのように影響するかを考 この力は

F C=ω2ur=G M u r d3{\displaystyle F_{C}=\omega^{2}ur={\frac{GMur}{d^{3}}}}

であり、FTに加算される。 力バランスの計算を行うと、ロシュ極限に対して次の結果が得られる。d=R M(3≤M≤m)1 3≤1.442R M(≤M≤m)1 3{\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)){\frac{1}{3}}\approx1.442R_{M}\left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{M}}}\right)^{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{M}\left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{M}}}\right)approx{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{M}\left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{M}}}{\rho_{m}}}\Right)){\frac{1}{3}}}

。……… (1)

または:d=R m(3M M M m)1 3≤1.442R m(M M M m)1 3{\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)){\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)){\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{{1}{3}}} 1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)approx{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right){{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{m}}}\right)r{\frac{1}{3}}\approx1.442R_{m}\left({\frac{M_{M}}{M_{{1}{3}}}

。……… (2)

M=4≤m r3 3{\displaystyle m={\frac{4\pi\rho_{m}r}}を使う^{3}}{3}}}

（ここで、r{\displaystyle r}

は衛星の半径である）π m{\displaystyle\rho_{m}}

式(1)において、3番目の式が得られる：d=(9m m4≤m)1 3≤0.8947(m m≤m)1 3{\displaystyle d=\left({\frac{9m_{m}}{4\pi\rho_{m}}}\right).{\frac{1}{3}}\approx0.8947(m m≤m)1 3{\displaystyle d=\left({\frac{9m_{m}}{4\pi\rho_{m}}}\right).{\frac{1}{3}}\approx0.8947(m m≤m)1 3{\displaystyle d=\left({\frac{9m_{m}}{4\pi\rho_{m}}}\right).{\frac{1}{3}}\approx0.8947(m m≤m)Div frac{9M_{M}}{4\pi\rho_{m}}}\right){{\frac{1}{3}}}\left({\frac{9M_{M}}{4\pi\rho_{m}}}\right)div{{{\frac{1}{3}}}\left({\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\left({\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\right)div{\frac{1}{3}}\right)div{\frac{{1}{3}}}}\0.8947\left（{\frac{M_{M}}{\rho_{m}}}\right）approx{{{\frac{M_{M}}}{\rho_{m}}}\right）approx{\frac{M_{M{1}{3}}}}

半径がr{\displaystyle r}

の惑星を考えてみましょう。 そして丘球。

式(2)は次のように記述することができる。R Roche=R Hill3M m3=R secondary3M m3{\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac{3M}{m}}}=R_{\text{secondary}}{\sqrt{\frac{3M}{m}}}}

、完全な数学的対称性。
これがロシュ極限とヒル球の天文学的意義である。 注：Roche limitとHill sphereは互いに完全に異なっていますが、どちらもÉdouard Rocheの作品です。

天体の丘球は、それが衛星の魅力を支配する領域であるのに対し、ロシュ限界は、衛星を一緒に保持している内部重力を克服する潮汐力なしに衛星がその一次体に近づくことができる最小距離である。

天体の丘球は、衛星の引力を支配する領域であり、ロシュ限界は、衛星を一緒に保持する内部重力を克服する潮汐力なしに衛星がその一次体に接近

流体衛星編集

ロシュ限界を計算するためのより正確なアプローチは、衛星の変形を考慮に入れます。 極端な例は、惑星を周回する潮汐固定された液体衛星であり、そこでは、衛星に作用するどのような力でも、それを長楕円体に変形させるでしょう。計算は複雑であり、その結果を正確な代数式で表すことはできません。

計算は複雑であり、その結果を正確な代数式で表すことはできません。 ロシュ自身はロシュ極限の近似解を次のように導いた：

d≤2.44R(≤M≤m)1/3{\displaystyle d\approx2.44R\left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)){1/3}}

しかし、プライマリの偏平度と衛星の質量を考慮したより良い近似は次のとおりである。

d≤2.423R(≤M≤m)1/3((1+m3M)+c3R(1+m M)1−c/R)1/3{\displaystyle d\approx2.423R\left{\frac{\rho_{m}}{\rho_{m}}}\right)){1/3}\left({\frac{(1+{\frac{m}{3m}})+{\frac{c}{3r}}(1+{\frac{m}{m}})}{1-c/r}}\right)){1/3}}

ここで、c/R{\displaystyle c/R}

iv id=””id{1/3}

回転角速度ω{\displaystyle\omega}

。

自己重力ポテンシャルとVT+VCの合計が体の表面上で一定である衛星の形状を決定したいと考えています。 一般に、このような問題を解決することは非常に困難であるが、この特定のケースでは、第一近似に対する潮汐ポテンシャルの半径距離Δ Dに対する二乗依存性のために巧みな推測によって解決することができ、遠心ポテンシャルVCを無視し、潮汐ポテンシャルVTのみを考慮することができる。

電位VTは一方向、すなわち本体に向かう方向にしか変化しないため、衛星は軸対称の形をとることが期待できます。 より正確には、我々はそれが革命の固体の形を取ると仮定することができます。 このような回転固体の表面上の自己ポテンシャルは、質量中心までの半径方向の距離にのみ依存することができる。 確かに、衛星と体を結ぶ線に垂直な平面との交点は、我々の仮定による境界が一定のポテンシャルの円であるディスクである。 自己重力ポテンシャルとＶＴの差が一定であれば，両方のポテンシャルはΔ Ｄに同じように依存しなければならない。 言い換えれば、自己電位はΔ Dの二乗に比例する必要があります。 次に、等電位解が回転楕円体であることを示すことができる。 一定の密度と体積が与えられると、そのような体の自己ポテンシャルは楕円体の離心率πにのみ依存する:

V s=V s0+G≤m≤f(ε)≤δ D2,{\displaystyle v_{s}=v_{s_{0}}+g\pi\rho_{m}\cdot f(\varepsilon)\cdot\delta d^{2},}

ここで、V s0{\Displaystyle V_{s_{0}}}

は、方程式Δ d=0で与えられる中心対称面と体の円縁の交点上の定数自己電位である。

無次元関数fは、楕円体のポテンシャルに対する正確な解から決定される

f(π)=1−π2π3π{\displaystyle f(\varepsilon)={\frac{1-\varepsilon^{2}}{\varepsilon^{3}}}\cdot\left}

そして、驚くべきことに、衛星の体積に依存しません。

潮汐ポテンシャルの強さが楕円体の離心率πにどのように依存するかを示す無次元関数fのグラフ。関数fの明示的な形式は複雑に見えますが、潜在的なVTがVSに変数Δ Dとは独立した定数を加えたものに等しくなるように、λの値を選択することは明 検査によって、これは2g⁡m R3d3=g⁡m f(θ){\displaystyle{\frac{2g\PI\rho_{m}R^{3}}{d^{3}}}=g\Pi\rho_{m}f(\varepsilon)}

fの導関数は、最大離心率を決定します。 これはRocheの限界を与える。より正確には、ロシュ極限は、楕円体を球形に向かって絞る力の非線形尺度とみなすことができる関数fが、この収縮力が最大になる偏心があるように有界であるという事実によって決定される。 衛星が本体に近づくと潮汐力が増加するため、楕円体が引き裂かれる臨界距離があることは明らかです。

最大離心率は、f’の導関数のゼロとして数値的に計算することができます。 一つは、

≤max≤0を取得します。 86{\displaystyle\varepsilon_{\text{max}}\approx0{\displaystyle\varepsilon_{\text{max}}}\approx0{.}86}

これは、楕円体軸の比1:1.95に対応します。 これを関数fの式に挿入すると、楕円体が存在する最小距離を決定することができます。 これはロシュ限界であり、

d≥2です。 423⋅R m m Ρ m3. {\displaystyle d\approx2{.{\Frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}}}}}}}}}}}\,.}

驚くべきことに、遠心ポテンシャルを含むことは、物体がロシュ楕円体、すべての軸が異なる長さを有する一般的な三軸楕円体になるにもかかわ ポテンシャルは軸の長さのより複雑な関数になり、楕円関数が必要になります。 しかし、解は潮汐のみの場合と同様に進行し、

d≤2が見つかります。 455⋅R m m Ρ m3. {\displaystyle d\approx2{.{\Frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}}}}}}}}}}}\,.}