w tej sekcji opracowujemy alternatywne podejście do obliczania \(V({\bf r})\), które uwzględnia te warunki brzegowe, a tym samym ułatwia analizę skalarnego pola potencjału w pobliżu struktur i przestrzennie zmiennych właściwości materiału. To alternatywne podejście opiera się na równaniu Poissona, które teraz wyprowadzamy.

zaczynamy od formy różniczkowej prawa Gaussa (sekcja 5.7):

\

\

następnie stosujemy relację (Punkt 5.14):

\

jest to równanie Poissona, ale nie występuje w takiej postaci, w jakiej jest powszechnie stosowane. Aby otrzymać postać alternatywną, rozważmy operator \(\nabla \cdot\ nabla\) we współrzędnych kartezjańskich:

\

zwróć uwagę, że równanie Poissona jest równaniem różniczkowym cząstkowym i dlatego można je rozwiązać przy użyciu dobrze znanych technik już ustalonych dla takich równań. W rzeczywistości równanie Poissona jest niejednorodnym równaniem różniczkowym, z niejednorodną częścią \(- \rho_v/ \ epsilon\) reprezentującą źródło pola. W obecności struktury materiału identyfikujemy odpowiednie warunki brzegowe na interfejsach między materiałami, a zadanie znalezienia \(V({\bf r})\) sprowadza się do czysto matematycznego zadania rozwiązania powiązanego problemu wartości granicznej (patrz „dodatkowy odczyt” na końcu tej sekcji). Takie podejście jest szczególnie skuteczne, gdy jeden z materiałów jest doskonałym przewodnikiem lub może być modelowany jako taki materiał. Dzieje się tak, ponieważ – jak zauważono na początku tego odcinka – potencjał elektryczny we wszystkich punktach na powierzchni doskonałego przewodnika musi być równy, co skutkuje szczególnie prostym stanem granicznym.

w wielu innych zastosowaniach ładunek odpowiedzialny za pole elektryczne leży poza domeną problemu, tzn. mamy niezerowe pole elektryczne (stąd potencjalnie niezerowy potencjał elektryczny) w regionie, który jest wolny od opłat. W tym przypadku równanie Poissona upraszcza się do równania Laplace ’ a:

\