nesta secção, desenvolvemos uma abordagem alternativa ao cálculo \(V({\bf r})\) que acomoda estas condições de contorno, e assim facilita a análise do campo potencial escalar na vizinhança de estruturas e propriedades materiais variáveis espacialmente. Esta abordagem alternativa é baseada na equação de Poisson, que agora derivamos.começamos com a forma diferencial da Lei de Gauss (Secção 5.7):

\

\

A seguir, aplicamos a relação (secção 5.14):

\ yielding \

Esta é a equação de Poisson, mas não é na forma em que é comumente empregado. Para obter a forma alternativa, considere o operador \(\nabla \cdot \nabla\) em coordenadas Cartesianas:

\

Note que a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial, e portanto pode ser resolvida usando técnicas bem conhecidas já estabelecidas para tais equações. Na verdade, a equação de Poisson é uma equação diferencial não homogênea, com a parte não homogênea \(-\rho_v/\epsilon\) representando a fonte do campo. Na presença de estrutura material, podemos identificar a relevante condições de contorno nas interfaces entre materiais, e a tarefa de encontrar \(V({\bf r})\) é reduzido ao puramente matemática tarefa de resolver o associado limite de valor de problema (ver “Leitura Adicional” no final desta seção). Esta abordagem é particularmente eficaz quando um dos materiais é um condutor perfeito ou pode ser modelado como tal. Isto porque – como observado no início desta seção-o potencial elétrico em todos os pontos da superfície de um condutor perfeito deve ser igual, resultando em uma condição limite particularmente simples.

em muitas outras aplicações, a carga responsável pelo campo elétrico está fora do domínio do problema; ou seja, temos campo elétrico não-zero (portanto, potencial elétrico potencialmente não-zero) em uma região que é livre de carga. Neste caso, a equação de Poisson simplifica-se à equação de Laplace.:

\