a distância limite para a qual um satélite pode se aproximar sem quebrar depende da rigidez do satélite. Num extremo, um satélite completamente rígido manterá a sua forma até que as forças de maré o quebrem. No outro extremo, um satélite altamente fluido gradualmente se deforma levando a um aumento das forças de maré, fazendo com que o satélite alongasse, aumentando ainda mais as forças de maré e fazendo com que se rompesse mais rapidamente.

a maioria dos satélites reais estaria em algum lugar entre estes dois extremos, com a resistência à tração tornando o satélite nem perfeitamente rígido nem perfeitamente fluido. Por exemplo, um asteroide empilhado de escombros se comportará mais como um fluido do que um sólido rochoso; um corpo gelado se comportará rigidamente no início, mas se tornará mais fluido à medida que o aquecimento das marés se acumula e seus gelos começam a derreter.

mas note que, como definido acima, o limite de Roche refere-se a um corpo mantido unido apenas pelas forças gravitacionais que causam partículas de outra forma não relacionadas a coalesce, formando assim o corpo em questão. O limite de Roche também é normalmente calculado para o caso de uma órbita circular, embora seja direto modificar o cálculo para se aplicar ao caso (por exemplo) de um corpo passando o primário em uma trajetória parabólica ou hiperbólica.

cálculo por satélite rígido

o limite de Roche de corpo rígido é um cálculo simplificado para um satélite esférico. Formas irregulares, como as de deformação de maré no corpo ou as órbitas primárias são negligenciadas. Supõe-se que esteja em equilíbrio hidrostático. Estes pressupostos, embora irrealistas, simplificam grandemente os cálculos.

O limite de Roche para uma rígida esférica satélite é a distância d {\displaystyle d}

, da primária, em que a força gravitacional em um teste de massa na superfície do objeto é exatamente igual à força de maré puxando a massa para longe do objeto: d = R M ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

, onde R M {\displaystyle R_{M}}

é o raio do primário, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}

é a densidade do primário, e ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

é a densidade do satélite. Isso pode ser equivalentemente escrita como d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

, onde R m {\displaystyle R_{m}}

é o raio do secundário, M M {\displaystyle M_{M}}

é a massa do primário, e M m {\displaystyle M_{m}}

é a massa do secundário.

isto não depende do tamanho dos objetos, mas da razão de densidades. Esta é a distância orbital dentro da qual material solto (por exemplo, regolito) na superfície do satélite mais próximo do primário seria puxado para longe, e do mesmo modo o material do lado oposto ao primário também irá para longe, em vez de para, o satélite.

Note que este é um resultado aproximado como força de inércia e estrutura rígida são ignorados em sua derivação.

O período orbital depende então apenas da densidade do sistema:

P = 2 π d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d, 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

, onde G é a constante gravitacional. Por exemplo, uma densidade de 3.346 g / cc (a densidade da nossa lua) corresponde a um período orbital de 2.552 horas.

Derivação da formulaEdit

a fim de determinar o limite de Roche, considere uma pequena massa de u {\displaystyle u}

na superfície do satélite mais próximo do primário. Existem duas forças nesta massa u {\displaystyle u}

: a atração gravitacional em direção ao satélite e a atração gravitacional em direção ao primário. Suponha que o satélite está em queda livre em torno do primário e que a força de maré é o único termo relevante da atração gravitacional do primário. Esta suposição é uma simplificação, pois a queda livre só se aplica verdadeiramente ao centro planetário, mas será suficiente para esta derivação.

A força gravitacional F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

sobre a massa u {\displaystyle u}

para o satélite de massa m {\displaystyle m}

e raio r {\displaystyle r}

pode ser expressa de acordo com a lei de Newton da gravitação. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

a força de maré F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

sobre a massa u {\displaystyle u}

para o primário, com raio R {\displaystyle R}

e massa M {\displaystyle M}

, a uma distância d {\displaystyle d}

entre os centros dos dois corpos, pode ser expressa, aproximadamente, como F T = 2 G M u d r o 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

. para obter esta aproximação, encontre a diferença na força gravitacional do primário no centro do satélite e na borda do satélite mais próxima do primário.: F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

Na aproximação onde r ≪ R {\displaystyle r\ll R}

e R < d {\displaystyle R<d}

, pode-se dizer que o r 2 {\displaystyle r^{2}}

no numerador e a cada período com r {\displaystyle r}

no denominador vai para zero, o que nos dá: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

ou

G m u r 2 = 2 G M u d r o 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

,

o que dá o limite de Roche, d {\displaystyle d}

, como d = r ( 2 M ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

O raio do satélite não deverá aparecer na expressão para o limite, então é re-escrito em termos de densidades.

Para uma esfera de massa M {\displaystyle M}

pode ser escrito como M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}

onde R {\displaystyle R}

é o raio do primário.

E também

m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

onde r {\displaystyle r}

é o raio do satélite.

Substituindo para as massas, a equação para o limite de Roche, e cancelando os 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

dá-d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

,

o que pode ser simplificado para o seguinte limite de Roche:

d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx de 1,26 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

. uma fórmula mais precisa

Uma vez que um satélite próximo provavelmente estará orbitando em uma órbita quase circular com rotação síncrona, considere como a força centrífuga da rotação afetará os resultados. Que força é

F C = ω 2 u r = G M u d r o 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

e é adicionada a FT. Fazendo a força, o equilíbrio cálculo produz esse resultado para o limite de Roche:

d = R M ( 3 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

ou: d = R m ( 3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R m ( M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

Use m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

(onde r {\displaystyle r}

é o raio do satélite) para substituir ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

na fórmula(1), podemos ter uma terceira fórmula:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( M M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. Assim, é suficiente observar a massa da estrela (planeta) e estimar a densidade do planeta (satélite) para calcular o limite de Roche do planeta (satélite) no sistema estelar (planetário).

limite de Roche, Hill e esfera de raio da planetEdit

Considere a possibilidade de um planeta com uma densidade de ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

e um raio de r {\displaystyle r}

, em órbita de uma estrela withis é o significado físico do limite de Roche, lóbulo de Roche e Hill sphere.

Fórmula(2) pode ser descrito como: R Roche = R Hill 3 M m 3 = R secundária 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3 M}{m}}}=R_{\text{secundário}}{\sqrt{\frac {3 M}{m}}}}

, um matemático perfeito simetria.esta é a significância astronômica do limite de Roche e da esfera de Hill. Nota: O limite de Roche e a esfera de Hill são completamente diferentes uns dos outros, mas são ambos trabalhos de Édouard Roche.a esfera de Colina de um corpo astronômico é a região na qual domina a atração de satélites, enquanto o limite de Roche é a distância mínima para a qual um satélite pode se aproximar de seu corpo primário sem força de maré superando a gravidade interna que mantém o satélite Unido.

Nota : limite de Roche e esfera de Hill são completamente diferentes um do outro, mas são ambos trabalho de Édouard Roche.esfera de Colina de um corpo astronômico é a região em que domina a atração de satélites, enquanto limite de Roche é a distância mínima para a qual um satélite pode se aproximar de seu corpo primário sem força de maré superando a gravidade interna que mantém o satélite Unido.

Fluid satellitesEdit

A more accurate approach for calculating the Roche limit takes the deformation of the satellite into account. Um exemplo extremo seria um satélite líquido que orbitasse um planeta, onde qualquer força que atuasse sobre o satélite iria deformá-lo em um esferóide prolato.

o cálculo é complexo e seu resultado não pode ser representado numa fórmula algébrica exata. Roche-se derivou a seguinte solução aproximada para o limite de Roche:

d ≈ 2.44 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx de 2,44 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}

no Entanto, uma melhor aproximação que leva em conta o principal oblateness e o satélite de massa é:

d ≈ 2.423 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.423 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}

em que c / R {\displaystyle c/R}

é o oblateness do primário. O factor numérico é calculado com a ajuda de um computador. a solução de fluido é apropriada para corpos que são apenas vagamente mantidos juntos, como um cometa. Por exemplo, a órbita em decomposição do cometa Shoemaker–Levy 9 em torno de Júpiter passou dentro de seu limite de Roche em julho de 1992, fazendo com que se fragmentasse em um número de peças menores. Em sua próxima aproximação em 1994, os fragmentos caíram no planeta. Shoemaker-Levy 9 foi observado pela primeira vez em 1993, mas sua órbita indicou que havia sido capturada por Júpiter algumas décadas antes.como o caso do satélite fluido é mais delicado do que o rígido, o satélite é descrito com algumas suposições simplificadoras. Primeiro, suponha que o objeto consiste incompressível de fluidos que tem densidade constante ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

e o volume V {\displaystyle V}

que não dependem externa ou interna de forças. em segundo lugar, assuma que o satélite se move em uma órbita circular e ele permanece em rotação síncrona. Isto significa que a velocidade angular ω {\displaystyle \omega }

em que gira em torno do seu centro de massa é a mesma que a velocidade angular em que se move em torno do baricentro do sistema global.

a velocidade angular ω {\displaystyle \omega }