o modelo SIR é um dos modelos compartimentais mais simples, e muitos modelos são derivados desta forma básica. O modelo consiste em três compartimentos: –

s: o número de indivíduos susceptíveis. Quando um indivíduo suscetível e infeccioso entra em “contato infeccioso”, o indivíduo suscetível contrai a doença e transições para o compartimento infeccioso. I: O número de indivíduos infecciosos. Estes são indivíduos que foram infectados e são capazes de infectar indivíduos susceptíveis. R para o número de indivíduos removidos (e imunes) ou mortos. Estes são indivíduos que foram infectados e que se recuperaram da doença e entraram no compartimento removido, ou morreram. Presume-se que o número de mortes é negligenciável em relação à população total. Este compartimento também pode ser chamado de “recuperado”ou ” resistente”. este modelo é razoavelmente preditivo para doenças infecciosas que são transmitidas do ser humano para o ser humano, e onde a recuperação confere resistência duradoura, tais como sarampo, papeira e rubéola.

estas variáveis (s, I e R) representam o número de pessoas em cada compartimento num determinado momento. Para representar que o número de indivíduos suscetíveis, infecciosos e removidos pode variar ao longo do tempo (mesmo que o tamanho total da população permaneça constante), fazemos dos números precisos uma função de t (tempo): S(t), I(t) e R(t). Para uma doença específica numa população específica, estas funções podem ser definidas de modo a prever possíveis surtos e a colocá-los sob controlo.

Como implícito pela função variável de t, o modelo é dinâmico em que os números em cada compartimento podem flutuar ao longo do tempo. A importância deste aspecto dinâmico é mais evidente numa doença endémica com um curto período infeccioso, como o sarampo no Reino Unido, antes da introdução de uma vacina em 1968. Essas doenças tendem a ocorrer em ciclos de surtos devido à variação no número de susceptibles (S(t)) ao longo do tempo. Durante uma epidemia, o número de indivíduos susceptíveis diminui rapidamente à medida que mais deles são infectados e, assim, entram nos compartimentos infecciosos e removidos. A doença não pode voltar a eclodir enquanto o número de susceptíveis não tiver sido recuperado, por exemplo, devido ao nascimento de descendentes no compartimento susceptível.

Cada membro da população que normalmente progride de suscetíveis às doenças infecto-para recuperado. Isto pode ser mostrado como um diagrama de fluxo em que as caixas representam os diferentes compartimentos e as setas a transição entre compartimentos, i.e.

de Transição ratesEdit

Para a especificação completa do modelo, as setas devem ser rotulados com as taxas de transição entre os compartimentos. Entre S e I, a taxa de transição é considerado d(S/N)/dt = -ßSI/N2, onde N é a população total, β é o número médio de contatos por pessoa, por hora, multiplicado pela probabilidade de transmissão da doença em um contato entre um suscetível e uma infecciosas assunto, e SI/N2 é a fração desses contactos entre um infecciosas e suscetíveis individuais que resultam na pessoa suscetível de se tornar infectado. (This is mathematically similar to the law of mass action in chemistry in which random collisions between molecules result in a chemical reaction and the fractional rate is proportional to the concentration of the two reactants).

entre I E R, presume-se que a taxa de transição é proporcional ao número de indivíduos infecciosos que é yI. Isto é equivalente a assumir que a probabilidade de um indivíduo infeccioso recuperar em qualquer intervalo de tempo dt é simplesmente ydt. Se um indivíduo for infeccioso por um período de tempo médio D, então γ = 1 / D. Isto também é equivalente à suposição de que o tempo gasto por um indivíduo no estado infeccioso é uma variável aleatória com uma distribuição exponencial. O modelo” clássico ” SIR pode ser modificado usando distribuições mais complexas e realistas para a taxa de transição I-R (por exemplo, a distribuição Erlang).

para o caso especial em que não há remoção do compartimento infeccioso (γ=0), o modelo SIR reduz-se a um modelo SI muito simples, que tem uma solução logística, na qual cada indivíduo eventualmente fica infectado.

O SIR modelo sem vital dynamicsEdit

a dinâmica de uma epidemia, por exemplo, a gripe, é muitas vezes muito mais rápida do que a dinâmica do nascimento e da morte, portanto, o nascimento e a morte são muitas vezes omitidos em modelos compartimentais simples. O sistema SIR sem a chamada dinâmica vital (nascimento e morte, às vezes chamada de demografia) descrito acima pode ser expresso pelo seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias:

d S d t = − β I S a N d I d a t = β I S N − γ I , d R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{alinhado}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta}{N}},\\&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta}{N}}-\gamma I,\\&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{alinhado}}}

onde S {\displaystyle S}

é o estoque de população suscetível, eu {\displaystyle I}

é o estoque de infectados, R {\displaystyle R}

é o estoque de removido população (por morte ou recuperação), e N {\displaystyle N}

é a soma desses três. este modelo foi proposto pela primeira vez por William Ogilvy Kermack e Anderson Gray McKendrick como um caso especial do que agora chamamos de teoria de Kermack–McKendrick, e seguiu o trabalho que McKendrick tinha feito com Ronald Ross.

Este sistema é não-linear, no entanto, é possível derivar sua solução analítica na forma implícita. Em primeiro lugar, note que a partir de:

d S d t + d I d t + d R d t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

segue-se que:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = constante = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constante}}=N,}

expressando em termos matemáticos a constância da população N {\displaystyle N}

. Note – se que a relação acima implica que basta estudar a equação para duas das três variáveis. em segundo lugar, observamos que a dinâmica da classe infecciosa depende da seguinte razão:: R 0 = β, γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}

os chamados básicos de reprodução número (também chamado de base reprodução ratio). Esta relação é derivada como o número esperado de novas infecções (estas novas infecções são por vezes chamadas infecções secundárias) de uma única infecção numa população onde todos os indivíduos são susceptíveis. Esta idéia pode, provavelmente, ser mais facilmente visto, se dizemos que o período de tempo normal entre os contatos é T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, e o período de tempo normal até que a remoção é T r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}

. A partir daqui segue-se que, em média, o número de contactos de um indivíduo infeccioso com outros antes da infecção ter sido removida é: T R / T C. {\displaystyle T_{R}/T_{c}.}

dividindo a primeira equação diferencial por terceiro, separando as variáveis e integrando, obtemos

S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

onde S ( 0 ) {\displaystyle S(0)}

e R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

são os números iniciais de, respectivamente, sensíveis e removido assuntos. Escrito s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

para o processo inicial proporção de indivíduos suscetíveis, e s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

e r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}

para a proporção de suscetíveis e removido indivíduos respectivamente o limite t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

um tem s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}

(note que o infecciosas compartimento esvazia nesse limite).Esta equação transcendental tem uma solução em termos da função W de Lambert, ou seja,

s ∞ = 1 − r ∞ = − r 0 − 1 W ( − S 0 r 0 e − R 0 ( 1 − r 0 ) ) . {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}

Isto mostra que, no final de uma epidemia que está de acordo com a simples suposições do modelo SIR, a menos que s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, nem todos os indivíduos da população foram removidos, de forma alguma deve permanecer sensíveis. Uma força motriz que conduz ao fim de uma epidemia é a diminuição do número de indivíduos infecciosos. A epidemia normalmente não termina por causa de uma completa falta de indivíduos suscetíveis. o papel tanto do número básico de reprodução como da susceptibilidade inicial são extremamente importantes. Na verdade, ao reescrever a equação para indivíduos infecciosos como segue: d I d a t = ( R 0 S N − 1 ) γ I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}

, produz o que se:

R 0 ⋅ S ( 0 ) > N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}

em seguida,:

d I d a t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

por exemplo, não vai ser um bom surto epidêmico, com um aumento do número de infeccioso (que pode chegar a uma fração considerável da população). Pelo contrário, se

R 0 ⋅ S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}

depois

d I d a t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

por exemplo, independente do tamanho inicial da população suscetível a doença pode nunca causar um bom surto epidêmico. Como consequência, é evidente que tanto o número básico de reprodução como a susceptibilidade inicial são extremamente importantes.

A força de infectionEdit

Note que no modelo acima, a função:

F = β I , {\displaystyle F=\beta I,}

os modelos, a taxa de transição do compartimento de indivíduos suscetíveis para o compartimento de doenças infecciosas indivíduos, por isso que ele é chamado a força de infecção. No entanto, para grandes classes de doenças transmissíveis, é mais realista pensar uma força de infecção, que não depende de o número absoluto de doenças infecciosas assuntos, mas em sua fração (com relação ao total constante da população N {\displaystyle N}

): F = β I N . {\displaystyle F= \ beta {\frac {i}{n}}.}

Capasso e, posteriormente, outros autores propuseram forças não lineares de infecção para modelar mais realisticamente o processo de contágio.

soluções analíticas exatas para o modelo SIR modelEdit

em 2014, Harko e coautores derivaram uma solução analítica exata (envolvendo uma integral que só pode ser calculada numericamente) para o modelo SIR. No caso sem vital dinâmica de instalação, para S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

, etc., corresponde ao seguinte horário de parametrização de S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

com condições iniciais

S ( 1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Pela equação transcendental para R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

acima, segue-se que u = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

, se S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

e eu ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

Um equivalente chamados analíticos de solução (que envolve uma integral que só pode ser calculado numericamente) encontrado por Miller rendimentos

S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{alinhado}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{alinhado}}}

Aqui ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)}

pode ser interpretado como o número esperado de transmissões de um indivíduo recebeu pelo tempo t {\displaystyle t}

. As duas soluções são relacionados por e − ξ ( t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

efetivamente, o mesmo resultado pode ser encontrado no trabalho original de Kermack e McKendrick.

Estas soluções podem ser facilmente compreendida observando que todos os termos no lado direito da original equações diferenciais são proporcionais a I {\displaystyle I}

. As equações podem, portanto, ser dividido por eu {\displaystyle I}

, e o tempo redimensionada de modo que o diferencial do operador sobre o lado esquerdo torna-se simplesmente d / d τ {\displaystyle d/d\tau }

onde d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt}

, i.e. τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. As equações diferenciais são agora todos linear, e a terceira equação, de forma d R / d τ = {\displaystyle dR/d\tau =}

const., mostra que τ {\displaystyle \tau }

e R {\displaystyle R}

(e ξ {\displaystyle \xi }

acima) simplesmente são linearmente relacionadas.

Um de alta precisão analítica approximant do SIR modelo foi fornecido pela Kröger e Schlickeiser, de modo que não há necessidade de realizar uma integração numérica para resolver o modelo SIR, para obter os parâmetros a partir de dados existentes, ou para prever o futuro dinâmica de um epidemias modelado pelo modelo SIR. O approximant envolve a função W Lambert que é parte de todos os softwares básicos de visualização de dados, como Microsoft Excel, MATLAB e Mathematica.

O modelo SIR com vital dinâmica e constante populationEdit

Considere uma população caracterizada por uma taxa de mortalidade µ {\displaystyle \mu }

e taxa de natalidade Λ {\displaystyle \Lambda }

e onde uma doença contagiosa, está se espalhando. O modelo com transmissão de ação em massa é: d a d o S t = Λ − µ S − β I S a N d I d a t = β I S N − γ I − μ I d a R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{alinhado}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma I-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{alinhado}}}

para que o equilíbrio livre de doença ( PFED) é:

(s ( t ) , I ( t ) , R ( t)) = (Λ μ , 0 , 0 ) . {\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}

neste caso, podemos derivar um básicas de reprodução número:

R 0 = β µ + γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}

, que possui propriedades do limite. De facto, independentemente dos valores iniciais biologicamente significativos, pode-se mostrar que:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + µ β , µ β ( R, 0 − 1 ) , γ β ( R, 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}