Projeto de Nayuki
Definição: A seqüência de Fibonacci é definida como \(F(0) = 0\), \(F(1) = 1\) e \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\) para \(n ≥ 2\). Então a sequência (começando com \(F (0)\)) é 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
Se queremos calcular um único termo na sequência (por exemplo \(F (n)\)), há um par de algoritmos para fazê-lo. Alguns algoritmos são muito mais rápidos do que outros.
algoritmos
textbook recursive (extremely slow)
Ingenually, we can directly execute the recurrence as given in the mathematical definition of the Fibonacci sequence. Infelizmente, é irremediavelmente lento: usa \(Θ(N)\) espaço na pilha e \(Θ (φ^n)\) operações aritméticas, onde \(φ = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\) (a razão dourada). Em outras palavras, o número de operações para calcular \(F(n)\) é proporcional à resposta numérica final, que cresce exponencialmente.
Programação Dinâmica(lenta)
deve ficar claro que se já computamos \(F(k-2)\) e \(F(k-1)\), Então podemos adicioná-los para obter \(F (k)\). Em seguida, adicionamos \(F (k-1)\) e \(F (k)\) para obter \(F(k+1)\). Repetimos até chegarmos a \(k = n\). A maioria das pessoas notam este algoritmo automaticamente, especialmente quando computam Fibonacci à mão. Este algoritmo leva as operações \(Θ(1)\) espaço e \(Θ(n)\).
exponenciação da matriz (rápida)
o algoritmo é baseado nesta identidade inocente (que pode ser provada por indução matemática):
\ (\esquerda^n = \esquerda \).
é importante usar exponenciação por quadratura com este algoritmo, porque caso contrário degenera para o algoritmo de programação dinâmica. Este algoritmo leva as operações \(Θ(1)\) espaço e \(Θ(\log n)\). (Notar: Estamos contando o número de operações aritméticas bigint, Não operações de palavras de Largura Fixa.)
Rápida duplicação (mais rápido)
Dado \(F(k)\) e \(F(k+1)\), podemos calcular estas:
\(\begin{align}F(2k) &= F(k) \à esquerda. \\F(2k+1) &= F(k+1)^2 + F (k)^2.\end{align}\)
estas identidades podem ser extraídas do algoritmo de exponenciação da matriz. Em certo sentido, este algoritmo é o algoritmo de exponenciação da matriz com os cálculos redundantes removidos. Deve ser um fator constante mais rápido que a exponenciação da matriz, mas a complexidade assintótica do tempo ainda é a mesma.
resumo: os dois algoritmos rápidos de Fibonacci são exponenciação de matriz e duplicação rápida, cada um com uma complexidade assintótica de operações aritméticas \(Θ(\log n)\). Ambos os algoritmos usam multiplicação, então eles se tornam ainda mais rápidos quando a multiplicação de Karatsuba é usada. Os outros dois algoritmos são lentos; eles só usam adição e nenhuma multiplicação.
código fonte
implementações estão disponíveis em várias línguas:
-
Java: FastFibonacci.java (todos os 3 algoritmos, referencial de tempo, programa principal executável)
-
Python: fastfibonacci.py (função de duplicação rápida apenas)
-
Haskell: fastfibonacci.hs (função de duplicação rápida apenas)
-
C#: FastFibonacci.cs (duplicação rápida Apenas, programa principal runnable)
(requer. NET Framework 4.0 ou superior; compile withcsc /r:System.Numerics.dll fastfibonacci.cs)
Benchmarks
Graphs
All algorithms, naive multiplication
All algorithms, Karatsuba multiplication
Fast algorithms, both multiplication algorithms
(Note: The graphs have logarithmic scales on the x and y axes.)
Table
| n | Fast doubling, Karatsuba multiplication | Fast matrix, Karatsuba multiplication | Fast doubling, naive multiplication | Fast matrix, naive multiplication | Slow dynamic programming | Slow recursive |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 414 | 1 042 | 4 197 | 887 | 10 | 4 |
| 2 | 5 638 | 2 092 | 4 442 | 1 822 | 53 | 22 |
| 3 | 5 708 | 2 740 | 4 509 | 2 342 | 92 | 56 |
| 4 | 5 945 | 3 027 | 4 733 | 2 660 | 133 | 114 |
| 5 | 5 989 | 3 677 | 4 787 | 3 147 | 172 | 219 |
| 6 | 5 972 | 3 956 | 4 765 | 3 371 | 211 | 400 |
| 8 | 6 191 | 3 972 | 4 969 | 3 428 | 289 | 1 161 |
| 10 | 6 283 | 4 952 | 5 022 | 4 154 | 370 | 3 113 |
| 13 | 6 307 | 5 610 | 5 046 | 4 667 | 488 | 13 480 |
| 16 | 6 479 | 4 955 | 5 177 | 4 210 | 605 | 57 300 |
| 20 | 6 542 | 5 923 | 5 234 | 4 985 | 763 | 394 000 |
| 25 | 6 632 | 6 565 | 5 263 | 5 479 | 964 | 4 373 000 |
| 32 | 6 794 | 5 887 | 5 388 | 4 908 | 1 235 | 127 500 000 |
| 40 | 6 818 | 6 880 | 5 433 | 5 715 | 1 552 | 5 980 000 000 |
| 50 | 6 806 | 7 742 | 5 486 | 6 446 | 2 023 | |
| 63 | 6 931 | 10 180 | 5 589 | 8 339 | 2 598 | |
| 79 | 7 162 | 11 090 | 5 753 | 9 187 | 3 396 | |
| 100 | 7 279 | 9 225 | 5 904 | 7 717 | 4 472 | |
| 126 | 7 427 | 12 410 | 6 059 | 10 220 | 5 866 | |
| 158 | 7 600 | 13 090 | 6 141 | 10 900 | 7 888 | |
| 200 | 8 006 | 11 700 | 6 556 | 9 969 | 10 640 | |
| 251 | 8 146 | 15 660 | 6 672 | 13 060 | 14 280 | |
| 316 | 8 597 | 18 810 | 7 089 | 16 530 | 19 610 | |
| 398 | 9 501 | 20 550 | 8 078 | 18 120 | 27 650 | |
| 501 | 9 964 | 24 050 | 8 492 | 21 340 | 38 970 | |
| 631 | 11 070 | 38 790 | 9 510 | 35 720 | 55 540 | |
| 794 | 13 020 | 41 810 | 11 520 | 39 380 | 80 280 | |
| 1 000 | 14 660 | 50 870 | 13 130 | 48 230 | 118 000 | |
| 1 259 | 18 640 | 99 020 | 16 990 | 95 640 | 175 300 | |
| 1 585 | 25 300 | 113 500 | 23 660 | 110 800 | 263 000 | |
| 1 995 | 32 360 | 148 100 | 30 770 | 144 700 | 397 500 | |
| 2 512 | 45 540 | 314 800 | 43 980 | 311 400 | 608 800 | |
| 3 162 | 67 800 | 372 200 | 66 250 | 369 000 | 937 200 | |
| 3 981 | 98 560 | 491 500 | 96 780 | 488 100 | 1 457 000 | |
| 5 012 | 143 500 | 1 050 000 | 145 900 | 1 132 000 | 2 269 000 | |
| 6 310 | 214 100 | 1 284 000 | 227 700 | 1 357 000 | 3 546 000 | |
| 7 943 | 320 300 | 1 662 000 | 351 300 | 1 821 000 | 5 547 000 | |
| 10 000 | 466 400 | 3 519 000 | 538 400 | 4 382 000 | 8 700 000 | |
| 12 589 | 691 100 | 4 303 000 | 851 700 | 5 254 000 | 13 640 000 | |
| 15 849 | 1 007 000 | 5 481 000 | 1 310 000 | 7 079 000 | 21 440 000 | |
| 19 953 | 1 493 000 | 11 800 000 | 2 081 000 | 17 260 000 | 33 620 000 | |
| 25 119 | 2 185 000 | 13 620 000 | 3 296 000 | 20 710 000 | 53 030 000 | |
| 31 623 | 3 205 000 | 17 570 000 | 5 159 000 | 27 860 000 | 83 310 000 | |
| 39 811 | 4 637 000 | 36 800 000 | 8 109 000 | 68 540 000 | 131 500 000 | |
| 50 119 | 6 750 000 | 42 430 000 | 12 910 000 | 82 230 000 | 207 700 000 | |
| 63 096 | 9 913 000 | 54 770 000 | 20 410 000 | 110 600 000 | 326 900 000 | |
| 79 433 | 14 450 000 | 113 300 000 | 32 300 000 | 275 100 000 | 517 100 000 | |
| 100 000 | 20 800 000 | 130 600 000 | 51 640 000 | 330 700 000 | 819 700 000 | |
| 125 893 | 30 380 000 | 168 900 000 | 81 150 000 | 445 200 000 | 1 296 000 000 | |
| 158 489 | 44 090 000 | 346 800 000 | 129 200 000 | 1 103 000 000 | 2 058 000 000 | |
| 199 526 | 63 260 000 | 405 400 000 | 205 100 000 | 1 325 000 000 | 3 249 000 000 | |
| 251 189 | 92 330 000 | 517 300 000 | 325 100 000 | 1 766 000 000 | 5 153 000 000 | |
| 316 228 | 133 700 000 | 1 055 000 000 | 515 700 000 | 4 413 000 000 | 8 161 000 000 | |
| 398 107 | 191 900 000 | 1 228 000 000 | 815 500 000 | 5 311 000 000 | 12 930 000 000 | |
| 501 187 | 280 200 000 | 1 572 000 000 | 1 297 000 000 | 7 059 000 000 | 20 520 000 000 | |
| 630 957 | 404 900 000 | 3 181 000 000 | 2 061 000 000 | 17 570 000 000 | 32 570 000 000 | |
| 794 328 | 580 700 000 | 3 691 000 000 | 3 265 000 000 | 21 090 000 000 | 51 650 000 000 | |
| 1 000 000 | 846 100 000 | 4 724 000 000 | 5 182 000 000 | 28 310 000 000 | 82 000 000 000 | |
| 1 258 925 | 1 221 000 000 | 9 570 000 000 | 8 168 000 000 | 70 280 000 000 | 130 300 000 000 | |
| 1 584 893 | 1 750 000 000 | 11 050 000 000 | 12 970 000 000 | 84 120 000 000 | 207 300 000 000 | |
| 1 995 262 | 2 549 000 000 | 14 230 000 000 | 20 610 000 000 | 112 700 000 000 | 329 700 000 000 | |
| 2 511 886 | 3 676 000 000 | 28 800 000 000 | 32 610 000 000 | 279 900 000 000 | 525 100 000 000 | |
| 3 162 278 | 5 247 000 000 | 32 980 000 000 | 51 600 000 000 | 335 600 000 000 | ||
| 3 981 072 | 7 654 000 000 |
Todas as horas são em nanossegundos (ns), dada a 4 algarismos significativos. Todos os testes acima foram realizados no Intel Core 2 Quad Q6600 (2,40 GHz) usando um único thread, Windows XP SP 3, Java 1.6.0_22.
provas
exponenciação da matriz
usaremos indução fraca para provar esta identidade.
capitalização de Base
para \(n = 1\), claramente \ (\esquerda^1 = \Esquerda \).
passo de indução
Assume para \(n ≥ 1\) que \ (\Esquerda^n = \esquerda \). Em seguida:
\(\left^{n + 1} \ \ = \left^n \left \ = \left \ \ \ \ \ left \ \ \ \ = left \ \ \ left > \)
duplicação rápida
assumiremos o facto de que o método de exponenciação da matriz é correcto para todos \(n ≥ 1\).
\(\esquerda \ \ = \ esquerda^{2n} \ \ = \esquerda (\esquerda^n \direita)^2 \ \ = \ Esquerda^2 \ \ = \ esquerda.\)
Portanto, por igualar as células na matriz:
\(\begin{align}F(2n+1) &= F(n+1)^2 + F(n)^2. \\F(2n) &= F(n) \left \\&= F(n) \left \\&= F(n) \left. \\F(2n-1) &= F(n)^2 + F(n-1)^2.\end{align}\)