mezní vzdálenost, ke které se satelit může přiblížit bez rozbití, závisí na tuhosti satelitu. V jednom extrému si zcela tuhý satelit udrží svůj tvar, dokud ho přílivové síly nerozbijí. Na jiném extrému, velmi tekutiny, satelitní postupně deformuje, což vede ke zvýšené slapové síly, což způsobuje satelitní aby se prodlužoval, dále skládání slapové síly a přimět to, aby rozpadat snadno.

většina skutečných satelitů by ležela někde mezi těmito dvěma extrémy, přičemž pevnost v tahu činí družici ani dokonale tuhou, ani dokonale tekutou. Například, rubble-pile asteroid bude chovat více jako kapalina než pevná rocky; ledové tělo se bude chovat zcela pevně, ale na první se stala více tekutiny jako přílivová topení hromadí a jeho ices začne tát.

Ale všimněte si, že, jak je definováno výše, Roche limit se vztahuje na tělo drží pohromadě pouze pomocí gravitační síly, které jinak nesouvisí částice splývají, čímž se vytvoří daný subjekt. Roche limit je také obvykle počítá pro případ kruhové dráze, i když to je jednoduché upravit výpočet tak, aby se na daný případ nevztahuje (například) z těla absolvování primární na parabolické nebo hyperbolické trajektorii.

výpočet tuhého satelituedit

limit Roche s pevným tělesem je zjednodušený výpočet pro sférický satelit. Nepravidelné tvary, jako jsou přílivové deformace na těle nebo primární obíhá, jsou zanedbávány. Předpokládá se, že je v hydrostatické rovnováze. Tyto předpoklady, i když nerealistické, značně zjednodušují výpočty.

Roche limit pro tuhé kulovité satelit je vzdálenost, d {\displaystyle d}

, z primární, při které gravitační síla na testovací hmoty na povrchu objektu je rovna přílivová síla táhne hmoty pryč z objektu: d = R M ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

, kde R M {\displaystyle R_{M}}

je poloměr primární, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}

je hustota primární, a ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

je hustota satelit. To může být ekvivalentně zapsán jako d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

, kde R m {\displaystyle R_{m}}

je poloměr sekundární, M M {\displaystyle M_{M}}

je hmotnost primární, a M {\displaystyle M_{m}}

je hmotnost sekundární.

to nezávisí na velikosti objektů, ale na poměru hustot. To je orbitální vzdálenosti uvnitř které sypký materiál (např. regolitu), na povrchu družice nejblíže k primární by být odtáhla, a také materiál na opačné straně primární bude také jít pryč, spíše než směrem, satelit.

Všimněte si, že toto je přibližný výsledek, protože setrvačná síla a tuhá struktura jsou při jeho odvození ignorovány.

orbitální perioda pak závisí pouze na hustotě sekundárního:

P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

kde G je gravitační konstanta. Například hustota 3.346 g / cc (hustota našeho měsíce) odpovídá orbitální době 2, 552 hodiny.

Odvození formulaEdit

aby bylo možné určit Roche limit, zvažte malé hmotnosti u {\displaystyle u}

na povrchu družice nejblíže k primární. Na této hmotě jsou dvě síly u {\displaystyle u}

: gravitační tah směrem k satelitu a gravitační tah směrem k primáru. Předpokládejme, že satelit je ve volném pádu kolem primáru a že přílivová síla je jediným relevantním pojmem gravitační přitažlivosti primáru. Tento předpoklad je zjednodušením, protože volný pád se skutečně vztahuje pouze na planetární centrum, ale bude stačit pro tuto derivaci.

gravitační silou F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

na hmotnost u {\displaystyle u}

na satelit o hmotnosti m {\displaystyle m}

a poloměr r {\displaystyle r}

může být vyjádřen podle Newtonova zákona gravitace. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

slapová síla F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

na hmotnost u {\displaystyle u}

směrem k primární s poloměrem R {\displaystyle R}

a hmotnosti M {\displaystyle M}

, ve vzdálenosti d {\displaystyle d}

mezi středy dvou těl, lze vyjádřit přibližně jako F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

.

Chcete-li získat tuto aproximaci, najít rozdíl v primární gravitační síly na střed satelitu a na okraji satelitní nejblíže k primární:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

V aproximaci, kde r ≪ R, {\displaystyle r\ll R}

R < d {\displaystyle R<d}

, to může být říkal, že r 2 {\displaystyle r^{2}}

v čitateli a každý termín s r, {\displaystyle r}

ve jmenovateli jde k nule, což nám dává: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

nebo

G m u r 2 = 2 G M u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

,

která dává Roche limit, d {\displaystyle d}

, protože d = r ( 2 M ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

poloměr satelitu by se neměla objevit ve výrazu pro limit, takže to je re-psaný z hlediska hustoty.

Pro kouli o hmotnosti M {\displaystyle M}

lze zapsat jako M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}

, kde R {\displaystyle R}

je poloměr primární.

A podobně.

m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

, kde r {\displaystyle r}

je poloměr satelitu.

Nahradit pro masy v rovnici pro Roche limit, a zrušení 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

dává d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

,

, který může být zjednodušen do následujícího Roche limit:

d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

.

přesnější vzorec

vzhledem k tomu, že blízký satelit bude pravděpodobně obíhat na téměř kruhové oběžné dráze se synchronní rotací, zvažte, jak odstředivá síla z rotace ovlivní výsledky. To je síla

F C = ω 2 r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

a to bude přidána do FT. Dělá force-balance výpočet výnosů tento výsledek pro Roche limit:

d = R M ( 3 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

nebo: d = R m ( 3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R m ( M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

Použití m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

(kde r {\displaystyle r}

je poloměr satelitu) nahradit ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

ve vzorci(1), můžeme mít třetí vzorec:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( M M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

Tak, to se stačí podívat na hmotnost hvězdy (planety) a odhadnout hustotu planety (satelitní) pro výpočet Roche limit planety (satelitní) v stellar (planetární) systému.

Roche limit, Hill koule a poloměr planetEdit

Zvážit planety s hustotou ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

a poloměr r {\displaystyle r}

, obíhající hvězdu withis je fyzikální význam Roche limit, Roche lalok a Hill sphere.

Vzorce(2) může být popsán jako: R Roche = R Hill 3 M m 3 = R sekundární 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{střední}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}

, perfektní matematické symetrie.
Toto je astronomický význam Roche limit a Hill sphere.

Poznámka: Roche limit a Hill sphere jsou od sebe zcela odlišné, ale oba jsou dílem Édouarda Roche.

Hill oblasti astronomické tělo je region, ve kterém dominuje přitažlivost satelitů vzhledem k tomu, Roche limit je minimální vzdálenost, na které se satelit může přiblížit jeho hlavní tělo, bez slapová síla překonání vnitřní gravitace drží satelitní spolu.

Poznámka: Roche limit a Hill sphere jsou od sebe zcela odlišné, ale oba jsou dílem Édouarda Roche.

Hill oblasti astronomické tělo je region, ve kterém dominuje přitažlivost satelitů vzhledem k tomu, Roche limit je minimální vzdálenost, na které se satelit může přiblížit jeho hlavní tělo, bez slapová síla překonání vnitřní gravitace drží satelitní spolu.

Fluid satelliteedit

přesnější přístup pro výpočet limitu Roche bere v úvahu deformaci satelitu. Extrémním příkladem by slapové síly drží tekuté satelit na orbitě planety, kde se veškeré síly působící na satelit by deformovat do prolate hyperboloidu.

výpočet je složitý a jeho výsledek nelze reprezentovat v přesném algebraickém vzorci. Roche sám odvodit následující přibližné řešení pro Roche limit:

d ≈ 2.44 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\cca 2.44 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}

Nicméně, lepší aproximaci, která bere v úvahu primární je oblateness a satelitní hmotnosti je:

d ≈ 2.423 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.423 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}

kde c / R {\displaystyle c/R}

je oblateness primární. Číselný faktor se vypočítá pomocí počítače.

tekutý roztok je vhodný pro tělesa, která jsou pouze volně držena pohromadě, jako je kometa. Například kometa Shoemaker–Levy 9 je rozkládající se na oběžné dráze kolem Jupitera prošel v rámci svého Roche limit v červenci 1992, což způsobuje, že se rozpadají na několik menších kusů. Při dalším přiblížení v roce 1994 fragmenty narazily na planetu. Shoemaker-Levy 9 byl poprvé pozorován v roce 1993, ale jeho oběžná dráha naznačovala, že byl zachycen Jupiterem před několika desetiletími.

Odvození formulaEdit

Jako tekutina, satelitní případě je mnohem jemnější než tuhá, satelitní popsána některé zjednodušující předpoklady. Nejprve předpokládejme, že objekt se skládá z nestlačitelné tekutiny, která má konstantní hustotu ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

a objemu V, {\displaystyle V}

, které nejsou závislé na vnějších nebo vnitřních sil.

za druhé předpokládejme, že se satelit pohybuje v kruhové oběžné dráze a zůstává v synchronní rotaci. To znamená, že úhlová rychlost ω {\displaystyle \omega }

u, který se otáčí kolem svého těžiště je stejná jako úhlová rychlost, kterou se pohybuje kolem celkový systém barycenter.

úhlové rychlosti ω {\displaystyle \omega }

je dána třetí Keplerův zákon: ω 2 = G M + m. d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2}=G\, {\frac {M+m}{d^{3}}}.}

Když je M mnohem větší než m, bude to blízko

ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2}=G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}

synchronní rotace znamená, že kapalina se nepohybuje a problém lze považovat za statický. Proto viskozita a tření kapaliny v tomto modelu nehrají roli, protože tato množství by hrála roli pouze pro pohybující se tekutinu.

vzhledem k těmto předpokladům je třeba vzít v úvahu následující síly:

• gravitační síla v důsledku hlavního tělesa;
• odstředivá síla v rotačním referenčním systému; a
• vlastní gravitační pole satelitu.

protože všechny tyto síly jsou konzervativní, mohou být vyjádřeny pomocí potenciálu. Kromě toho je povrch satelitu ekvipotenciální. Jinak by rozdíly potenciálu vedly k silám a pohybu některých částí kapaliny na povrchu, což je v rozporu s předpokladem statického modelu. Vzhledem k vzdálenosti od hlavního tělesa musí být stanovena forma povrchu, která splňuje ekvipotenciální stav.

Jako orbit se předpokládalo, kruhové, celková gravitační síla a orbitální odstředivá síla působící na hlavní tělo zrušit. To ponechává dvě síly: přílivovou sílu a rotační odstředivou sílu. Přílivová síla závisí na poloze vzhledem ke středu hmoty, která je již zvažována v tuhém modelu. U malých těles je vzdálenost kapalných částic od středu těla malá ve vztahu ke vzdálenosti d od hlavního těla. Slapová síla tedy může být linearizována, což má za následek stejný vzorec pro FT, jak je uvedeno výše.

Zatímco tato síla v rigidní model závisí pouze na poloměru r satelitu, v tekutině v případě, že všechny body na povrchu, musí být považovány za, a slapová síla závisí na vzdálenosti Δd ze středu hmotnosti dané částice promítá na přímku spojující satelitní a hlavní tělo. Říkáme Δd radiální vzdálenost. Od slapová síla je lineární v Δd, související potenciál je úměrný druhé mocnině proměnné a pro m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

máme V T = − 3 G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

Podobně, odstředivá síla má potenciál

V. C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

pro rotační úhlové rychlosti ω {\displaystyle \omega }

.

chceme určit tvar satelitu, pro který je součet vlastního gravitačního potenciálu a VT + VC konstantní na povrchu těla. Obecně platí, že takový problém je velmi obtížné řešit, ale v tomto konkrétním případě, může být vyřešen pomocí zručný asi vzhledem k náměstí závislost slapového potenciálu na radiální vzdálenosti Δd Pro první přiblížení můžeme ignorovat odstředivé potenciál VC a vzít v úvahu pouze slapový potenciál VT.

Protože potenciál VT změny pouze v jednom směru, tj. směru k hlavní tělo, satelitní lze očekávat, že se axiálně symetrické podobě. Přesněji řečeno, můžeme předpokládat, že má formu pevné revoluce. Vlastní potenciál na povrchu takové pevné látky může záviset pouze na radiální vzdálenosti od středu hmoty. Průsečík satelitu a roviny kolmé k přímce spojující těla je disk, jehož hranice podle našich předpokladů je kružnicí konstantního potenciálu. Pokud by byl rozdíl mezi vlastním gravitačním potenciálem a VT konstantní, musí oba potenciály záviset stejným způsobem na Δd. Jinými slovy, vlastní potenciál musí být úměrný čtverci Δd. Pak lze ukázat, že ekvipotenciální řešení je elipsoid revoluce. Při konstantní hustotě a objemu závisí vlastní potenciál takového tělesa pouze na excentricitě ε elipsoidu:

V. s = V. y 0 + G π ρ m ⋅ f ( ε ) ⋅ Δ d 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}

V. s 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}

je konstantní self-potenciál na křižovatce kruhové hrany těla a centrální symetrie rovině dána rovnicí: Δd=0.

bezrozměrné funkce f se určí z přesné řešení pro potenciál na elipsoidu,

f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

a kupodivu nezávisí na objemu satelit.

i když explicitní tvar funkce f vypadá složitě, je, že můžeme volit a volí hodnota ε tak, že potenciální VT se rovná VS plus konstantní nezávislé proměnné Δd. Podle inspekce, toto nastane, když

2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}

Tuto rovnici lze řešit numericky. Graf ukazuje, že existují dvě řešení, a proto menší představuje stabilní rovnovážnou formu (elipsoid s menší excentricitou). Toto řešení určuje excentricitu přílivového elipsoidu jako funkci vzdálenosti od hlavního těla. Derivace funkce f má nulu, kde je dosaženo maximální excentricity. To odpovídá limitu Roche.

přesněji řečeno, Roche limit je dán tím, že funkce f, které lze považovat za nelineární měření síly stlačení elipsoidu vůči kulovitý tvar, je ohraničena tak, že tam je excentricita, při které tento smluvní síla se stává maximální. Od slapová síla se zvýší, když satelitní přístupy, hlavní tělo, je jasné, že tam je zásadní vzdálenost, na kterou elipsoid je roztrhané.

maximální excentricitu lze vypočítat číselně jako nulu derivace F‘. Jeden získá

ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \ varepsilon _{\text{max}} \ cca 0{.}86}

což odpovídá poměru elipsoidních OS 1: 1,95. Vložením do vzorce pro funkci f lze určit minimální vzdálenost, ve které elipsoid existuje. Toto je limit Roche,

d ≈ 2 . 423 ⋅ R ρ ρ M ρ m 3 . {\displaystyle d \ cca 2{.}423\cdot R \ cdot {\sqrt {\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\,.}

překvapivě, včetně odstředivého potenciálu je pozoruhodně malý rozdíl, ačkoli objekt se stává Roche elipsoid, obecný triaxiální elipsoid se všemi osami, které mají různé délky. Potenciál se stává mnohem složitější funkcí délek osy, vyžadující eliptické funkce. Řešení však probíhá stejně jako v případě přílivu a odlivu a najdeme

d ≈ 2 . 455 R R ρ ρ M ρ m 3 . {\displaystyle d \ cca 2{.}455\cdot R \ cdot {\sqrt {\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\,.}