Das SIR-Modell ist eines der einfachsten Kompartmentmodelle, und viele Modelle sind Ableitungen dieser Grundform. Das Modell besteht aus drei Fächern: –

S: Die Anzahl der anfälligen Personen. Wenn ein anfälliges und ein infektiöses Individuum in „infektiösen Kontakt“ kommen, kontrahiert das anfällige Individuum die Krankheit und geht in das infektiöse Kompartiment über. I: Die Anzahl der infektiösen Individuen. Dies sind Personen, die infiziert wurden und in der Lage sind, anfällige Personen zu infizieren. R für die Anzahl der entfernten (und immunen) oder verstorbenen Personen. Dies sind Personen, die infiziert wurden und sich entweder von der Krankheit erholt haben und in das entfernte Kompartiment eingetreten sind oder gestorben sind. Es wird angenommen, dass die Zahl der Todesfälle im Vergleich zur Gesamtbevölkerung vernachlässigbar ist. Dieses Fach kann auch als „wiederhergestellt“ oder „beständig“ bezeichnet werden. Dieses Modell ist einigermaßen prädiktiv für Infektionskrankheiten, die von Mensch zu Mensch übertragen werden, und wo Erholung verleiht dauerhafte Resistenz, wie Masern, Mumps und Röteln.

Diese Variablen (S, I und R) stellen die Anzahl der Personen in jedem Abteil zu einem bestimmten Zeitpunkt dar. Um darzustellen, dass die Anzahl der anfälligen, infektiösen und entfernten Individuen im Laufe der Zeit variieren kann (auch wenn die Gesamtpopulationsgröße konstant bleibt), machen wir die genauen Zahlen zu einer Funktion von t (Zeit): S (t), I(t) und R(t). Für eine bestimmte Krankheit in einer bestimmten Population können diese Funktionen ausgearbeitet werden, um mögliche Ausbrüche vorherzusagen und unter Kontrolle zu bringen.Wie durch die variable Funktion von t impliziert, ist das Modell insofern dynamisch, als die Zahlen in jedem Kompartiment im Laufe der Zeit schwanken können. Die Bedeutung dieses dynamischen Aspekts zeigt sich am deutlichsten bei einer endemischen Krankheit mit kurzer infektiöser Periode, wie Masern in Großbritannien vor der Einführung eines Impfstoffs im Jahr 1968. Solche Krankheiten neigen dazu, in Zyklen von Ausbrüchen aufgrund der Variation der Anzahl der Anfälligkeiten (S (t)) im Laufe der Zeit auftreten. Während einer Epidemie sinkt die Zahl der anfälligen Personen rapide, da mehr von ihnen infiziert sind und somit in die infektiösen und entfernten Kompartimente gelangen. Die Krankheit kann erst wieder ausbrechen, wenn sich die Anzahl der Anfälligkeiten wieder aufgebaut hat, z. B. durch die Geburt von Nachkommen in das anfällige Kompartiment.

Jedes Mitglied der Bevölkerung entwickelt sich typischerweise von anfällig für Infektionen zu erholt. Dies kann als Flussdiagramm dargestellt werden, in dem die Kästchen die verschiedenen Kompartimente und die Pfeile den Übergang zwischen den Kompartimenten darstellen, d. H.

Übergangsratenbearbeiten

Für die vollständige Spezifikation des Modells sollten die Pfeile mit den Übergangsraten zwischen den Kompartimenten gekennzeichnet sein. Zwischen S und I wird angenommen, dass die Übergangsrate d (S / N) / dt = -ßSI / N2 ist, wobei N die Gesamtpopulation ist, β die durchschnittliche Anzahl von Kontakten pro Person und Zeit ist, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit einer Krankheitsübertragung bei einem Kontakt zwischen einem anfälligen und einem infektiösen Subjekt, und SI / N2 ist der Anteil jener Kontakte zwischen einem infektiösen und einem anfälligen Individuum, die dazu führen, dass die anfällige Person infiziert wird. (Dies ähnelt mathematisch dem Gesetz der Massenwirkung in der Chemie, bei dem zufällige Kollisionen zwischen Molekülen zu einer chemischen Reaktion führen und die Bruchrate proportional zur Konzentration der beiden Reaktanten ist).

Zwischen I und R wird angenommen, dass die Übergangsrate proportional zur Anzahl der infektiösen Individuen ist, die übertragen werden. Dies entspricht der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein infektiöses Individuum in einem beliebigen Zeitintervall dt erholt, einfach ydt ist. Wenn ein Individuum für einen durchschnittlichen Zeitraum D infektiös ist, dann γ = 1 / D. Dies entspricht auch der Annahme, dass die Zeitdauer, die ein Individuum im infektiösen Zustand verbringt, eine Zufallsvariable mit einer Exponentialverteilung ist. Das „klassische“ SIR-Modell kann modifiziert werden, indem komplexere und realistischere Verteilungen für die I-R-Übergangsrate verwendet werden (z. B. die Erlang-Verteilung).

Für den Sonderfall, in dem keine Entnahme aus dem infektiösen Kompartiment erfolgt (γ=0), reduziert sich das SIR-Modell auf ein sehr einfaches SI-Modell, das eine logistische Lösung hat, bei der sich schließlich jeder Einzelne infiziert.

Das SIR-Modell ohne Vital dynamicsEdit

Die Dynamik einer Epidemie, beispielsweise der Grippe, ist oft viel schneller als die Dynamik von Geburt und Tod. Das oben beschriebene SIR-System ohne die sogenannte Vitaldynamik (Geburt und Tod, manchmal auch Demographie genannt) kann durch den folgenden Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen ausgedrückt werden:d S d t = − β I S N , d I d t = β I S N − γ I , d R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IST}{N}},\\&{\frac {dI}{dt {\frac {\beta IST}{N}}-\gamma I,\\&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}}

wobei S {\displaystyle S}

ist der Bestand der anfälligen Population, I {\displaystyle I}

ist der Bestand der Infizierten, R {\displaystyle R}

ist der Bestand der entfernten Population (entweder durch Tod oder Genesung) und N {\displaystyle displaystyle N}

ist die Summe dieser drei. Dieses Modell wurde zum ersten Mal von William Ogilvy Kermack und Anderson Gray McKendrick als Sonderfall dessen vorgeschlagen, was wir jetzt Kermack–McKendrick-Theorie nennen, und folgte der Arbeit, die McKendrick mit Ronald Ross gemacht hatte.

Dieses System ist nichtlinear, es ist jedoch möglich, seine analytische Lösung in impliziter Form abzuleiten. Beachten Sie zunächst, dass von:

d S d t + d I d t + d R d t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

daraus folgt:

S (t ) + I (t ) + R ( t ) = Konstante = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{Konstante}}=N,}

isplaystyle N}

. Beachten Sie, dass die obige Beziehung impliziert, dass man nur die Gleichung für zwei der drei Variablen studieren muss.

Zweitens stellen wir fest, dass die Dynamik der infektiösen Klasse von folgendem Verhältnis abhängt:

R 0 = β γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}

die sogenannte Grundreproduktionszahl (auch Grundreproduktionsverhältnis genannt). Dieses Verhältnis ergibt sich aus der erwarteten Anzahl von Neuinfektionen (diese Neuinfektionen werden manchmal als Sekundärinfektionen bezeichnet) aus einer einzigen Infektion in einer Population, in der alle Probanden anfällig sind. Diese Idee lässt sich wahrscheinlich leichter erkennen, wenn wir sagen, dass die typische Zeit zwischen den Kontakten T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

ist und die typische Zeit bis zum Entfernen T r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}

. Daraus folgt, dass im Durchschnitt die Anzahl der Kontakte eines infektiösen Individuums mit anderen, bevor das infektiöse entfernt wurde, ist: T r / T c. {\displaystyle T_{r}/T_{c}.}

Wenn wir die erste Differentialgleichung durch die dritte dividieren, die Variablen trennen und integrieren, erhalten wir

S (t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R (t ) − R (0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

wobei S (0 ) {\displaystyle S(0)}

und R (0 ) {\displaystyle R(0)}

sind die Anfangszahlen von anfälligen bzw. entfernten Probanden. Schreiben von s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

für den anfänglichen Anteil anfälliger Personen und s ∞ = S (∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

und r ∞ = R (∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}

für den Anteil entfernt Individuen respektivin der Grenze t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

man hat s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}

(beachten Sie, dass sich das infektiöse Kompartiment in dieser Grenze leert).Diese transzendentale Gleichung hat eine Lösung in Bezug auf die Lambert−W−Funktion, nämlich

s ∞ = 1 − r ∞ = − R 0 − 1 W ( − s 0 R 0 e – R 0 ( 1 – r 0) ) . {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}

Dies zeigt, dass am Ende einer Epidemie, die den einfachen Annahmen des SIR-Modells entspricht, nicht alle Individuen der Population entfernt wurden, es sei denn, s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, so dass einige anfällig bleiben müssen. Eine treibende Kraft, die zum Ende einer Epidemie führt, ist ein Rückgang der Anzahl infektiöser Personen. Die Epidemie endet normalerweise nicht aufgrund eines völligen Mangels an anfälligen Personen.

Die Rolle sowohl der grundlegenden Reproduktionszahl als auch der anfänglichen Suszeptibilität sind äußerst wichtig. In der Tat, nach dem Umschreiben der Gleichung für infektiöse Individuen wie folgt:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\links(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\rechts)\gamma I,}

ergibt, wenn:

R 0 ⋅ S ( 0 ) > N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}

dann:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

ird ein richtiger epidemischer Ausbruch mit einer Zunahme der Zahl der infektiösen (die einen beträchtlichen Teil der Bevölkerung erreichen kann). Im Gegenteil, wenn R 0 ⋅ S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}

dann

d I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

das heißt, unabhängig von der anfänglichen Größe der anfälligen Bevölkerung kann die Krankheit niemals einen richtigen epidemischen Ausbruch verursachen. Folglich ist es klar, dass sowohl die grundlegende Reproduktionszahl als auch die anfängliche Suszeptibilität äußerst wichtig sind.

Die Kraft der Infektionbearbeiten

Beachten Sie, dass im obigen Modell die Funktion:

F = β I , {\displaystyle F=\beta I,}

die Übergangsrate vom Kompartiment anfälliger Individuen zum Kompartiment infektiöser Individuen modelliert, so dass sie als Infektionskraft bezeichnet wird. Für große Klassen übertragbarer Krankheiten ist es jedoch realistischer, eine Infektionskraft in Betracht zu ziehen, die nicht von der absoluten Anzahl infektiöser Probanden abhängt, sondern von ihrem Anteil (in Bezug auf die konstante Gesamtpopulation N {\displaystyle N}

): F = β I N. {\displaystyle F}{\displaystyleF}{\displaystyleF}{\displaystyleF}{\displaystyleF}{\displaystyleF}{\displaystyleF}.}

Capasso und anschließend andere Autoren haben nichtlineare Infektionskräfte vorgeschlagen, um den Ansteckungsprozess realistischer zu modellieren.

Exakte analytische Lösungen für das SIR-Modellbearbeiten

Im Jahr 2014 leiteten Harko und Co-Autoren eine exakte sogenannte analytische Lösung (mit einem Integral, das nur numerisch berechnet werden kann) für das SIR-Modell ab. Im Fall ohne vital dynamics Setup für S (u ) = S (t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

usw., es entspricht der folgenden Zeitparametrisierung S (u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I (u ) = N − R ( u ) − S (u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N -{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\ )=R(0)-\rho \ln(u)}

für

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

mit Anfangsbedingungen

( S (1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Aus der obigen Transzendentalgleichung für R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

folgt, dass u T = e − (R ∞ − R (0 ) ) / ρ ( = S ∞/ S (0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\ infty }/S(0)}

, wenn S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

und I ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

Eine äquivalente sogenannte analytische Lösung (mit einem Integral, das nur numerisch berechnet werden kann), die von Miller gefunden wurde, ergibt

S (t ) = S ( 0 ) e – ξ ( t ) I (t ) = N − S (t ) − R ( t ) R ( t ) = R (0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{t}S(t)&=S(0) e^{−\xi (t)}\\Ich(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)& ={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{*}}}

Hier kann ξ (t ) {\displaystyle \xi (t)}

als die erwartete Anzahl von Übertragungen interpretiert werden, die ein Individuum zum Zeitpunkt t {\displaystyle t}

erhalten hat . Die beiden Lösungen sind verwandt durch e – ξ (t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

. Praktisch das gleiche Ergebnis kann in der ursprünglichen Arbeit von Kermack und McKendrick gefunden werden.

Diese Lösungen lassen sich leicht verstehen, wenn man bedenkt, dass alle Terme auf der rechten Seite der ursprünglichen Differentialgleichungen proportional zu I {\displaystyle I}

sind . Die Gleichungen können also durch I{\displaystyle I}

geteilt und die Zeit neu skaliert werden, so dass der Differentialoperator auf der linken Seite einfach d/d τ {\displaystyle d/d\tau }

wird, wobei d τ = I d t {\displaystyle displaystyle d\tau =Idt}

, d.h. τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. Die Differentialgleichungen sind nun alle linear, und die dritte Gleichung hat die Form d R/d τ = {\displaystyle dR/d\tau =}

const., zeigt, dass τ {\displaystyle \tau }

und R {\displaystyle R}

(und ξ {\displaystyle \xi }

oben) einfach linear verwandt sind. Eine hochgenaue analytische Approximant des SIR-Modells wurde von Kröger und Schlickeiser zur Verfügung gestellt, so dass es keine Notwendigkeit gibt, eine numerische Integration durchzuführen, um das SIR-Modell zu lösen, seine Parameter aus vorhandenen Daten zu erhalten oder die zukünftige Dynamik einer durch das SIR-Modell modellierten Epidemien vorherzusagen. Der Approximant beinhaltet die Lambert-W-Funktion, die Teil aller grundlegenden Datenvisualisierungssoftware wie Microsoft Excel, MATLAB und Mathematica ist.

Das SIR-Modell mit vitaler Dynamik und konstanter Populationbearbeiten

Betrachten Sie eine Population, die durch eine Sterberate μ {\displaystyle \mu }

und eine Geburtenrate Λ {\displaystyle \Lambda }

gekennzeichnet ist und bei der eine übertragbare Krankheit breitet sich aus. Das Modell mit Massengetriebe ist: d S D t = Λ − μ S − β I S N D I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IST}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IST}{N}}-\gamma I-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\Ende{ausgerichtet}}}

für das krankheitsfreie Gleichgewicht (DFE) ist:

( S ( t ), I (t ) , R (t ) ) = (Λ μ, 0, 0 ) . {\displaystyle \links(S(t),I(t),R(t)\rechts)=\links({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\rechts).}

In diesem Fall können wir eine grundlegende Reproduktionszahl ableiten:

R 0 = β μ + γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}

mit Schwellenwerteigenschaften. Tatsächlich kann man unabhängig von biologisch aussagekräftigen Anfangswerten zeigen, dass:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S (t ) , ich ( t ) , R (t ) ) = DFE = (Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\bis \infty }(S(t), ich(t), R(t))={\textrm {DFE}}=\links({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\rechts)}

R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S (t), I (t), R (t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R 0 − 1), γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\bis \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\links({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\links(R_{0}-1\rechts),{\frac {\gamma }{\beta }}\links(R_{0}-1\rechts)\rechts).}

Der Punkt EE wird als endemisches Gleichgewicht bezeichnet (die Krankheit ist nicht vollständig ausgerottet und verbleibt in der Bevölkerung). Mit heuristischen Argumenten kann man zeigen, dass R 0 {\displaystyle R_{0}}

als die durchschnittliche Anzahl von Infektionen gelesen werden kann, die durch ein einzelnes infektiöses Subjekt in einer vollständig anfälligen Population verursacht werden.

The SIR modelEdit

1927 erstellten W. O. Kermack und A. G. McKendrick ein Modell, in dem sie eine feste Population mit nur drei Kompartimenten betrachteten: S, S ( t ) {\displaystyle S(t)}

; infiziert, I(t ) {\displaystyle I(t)}

; und wiederhergestellt, R(t ) {\displaystyle R(t)}

. Die für dieses Modell verwendeten Kompartimente bestehen aus drei Klassen:

• S (t ) {\displaystyle S(t)}
  

  wird verwendet, um die Personen darzustellen, die zum Zeitpunkt t noch nicht mit der Krankheit infiziert sind, oder diejenigen, die für die Krankheit der Bevölkerung anfällig sind.

• I (t ) {\displaystyle I(t)}
  

  bezeichnet die Individuen der Population, die mit der Krankheit infiziert wurden und in der Lage sind, die Krankheit auf diejenigen in der anfälligen Kategorie zu übertragen.

• R (t ) {\displaystyle R(t)}
  

  ist das Kompartiment für die Individuen der Population, die infiziert und dann von der Krankheit entfernt wurden, entweder aufgrund von Immunisierung oder aufgrund von Tod. Personen in dieser Kategorie können sich nicht erneut infizieren oder die Infektion auf andere übertragen.

Der Fluss dieses Modells kann wie folgt betrachtet werden:

S → Ich → R {\displaystyle {\color {blau}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}

Bei Verwendung einer festen Grundgesamtheit löst N = S (t ) + I (t ) + R (t ) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

in den drei Funktionen aus, dass der Wert N {\displaystyle N}

sollte innerhalb der Simulation konstant bleiben, wenn eine Simulation zur Lösung des SIR-Modells verwendet wird. Alternativ kann der analytische Approximant ohne Durchführung einer Simulation verwendet werden. Das Modell wird mit den Werten S (t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I (t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

und R(t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Dies ist die Anzahl der Personen in den Kategorien anfällig, infiziert und entfernt zum Zeitpunkt gleich Null. Wenn angenommen wird, dass das SIR-Modell zu allen Zeiten gilt, sind diese Anfangsbedingungen nicht unabhängig. Anschließend aktualisiert das Strömungsmodell die drei Variablen für jeden Zeitpunkt mit Sollwerten für β {\displaystyle \beta }

und γ {\displaystyle \gamma }

. Die Simulation aktualisiert zuerst die Infizierte von der anfälligen und dann wird die entfernte Kategorie für den nächsten Zeitpunkt (t = 1) von der infizierten Kategorie aktualisiert. Dies beschreibt den Fluss Personen zwischen den drei Kategorien. Während einer Epidemie wird die anfällige Kategorie mit diesem Modell nicht verschoben, β {\displaystyle \beta }

ändert sich im Verlauf der Epidemie und γ {\displaystyle \gamma }

. Diese Variablen bestimmen die Länge der Epidemie und müssten mit jedem Zyklus aktualisiert werden. d S d t = − β S I N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d t = β S I N − γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\ {\beta SI}{N}}-\gamma I}

d R d t = γ I {\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}

Bei der Formulierung dieser Gleichungen wurden mehrere Annahmen getroffen: Erstens muss davon ausgegangen werden, dass ein Individuum in der Population die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie jedes andere Individuum, an der Krankheit zu erkranken, mit einer Rate von a {\displaystyle a}

und einem gleichen Bruchteil b {\displaystyle b}

von Menschen, mit denen ein Individuum pro Zeiteinheit Kontakt aufnimmt. Dann sei β {\displaystyle \beta }

die Multiplikation von a {\displaystyle a}

und b {\displaystyle b}

. Dies ist die Übertragungswahrscheinlichkeit mal die Kontaktrate. Außerdem nimmt eine infizierte Person pro Zeiteinheit Kontakt mit b {\displaystyle b}

Personen auf, während nur ein Bruchteil, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

von ihnen anfällig sind.Somit haben wir jedes infektiöse kann a b infizieren S = β S {\displaystyle abS=\beta S}

anfällige Personen, und daher ist die ganze Anzahl von Anfälligkeiten, die durch Infektiöse pro Zeiteinheit infiziert sind β S I {\displaystyle \beta SI}

. Betrachten Sie für die zweite und dritte Gleichung die Population, die die anfällige Klasse verlässt, als gleich der Anzahl, die in die infizierte Klasse eintritt. Eine Zahl gleich dem Bruch γ {\displaystyle \gamma }

(der die mittlere Erholungs-/Sterberate oder 1 / γ {\displaystyle 1/\gamma }

die mittlere infektiöse Periode darstellt) von Infektiva verlassen diese Klasse pro Zeiteinheit, um in die entfernte Klasse einzutreten. Diese Prozesse, die gleichzeitig auftreten, werden als das Gesetz der Massenaktion bezeichnet, eine weithin akzeptierte Idee, dass die Kontaktrate zwischen zwei Gruppen in einer Population proportional zur Größe jeder der betroffenen Gruppen ist. Schließlich wird angenommen, dass die Infektions- und Genesungsrate viel schneller ist als die Zeitskala von Geburten und Todesfällen, und daher werden diese Faktoren in diesem Modell ignoriert.

Steady-State-Lösungenbearbeiten

Die erwartete Dauer der Suszeptibilität ist E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

wobei T L {\displaystyle T_{L}}

spiegelt die Zeit am Leben (Lebenserwartung) und T S {\displaystyle T_{S}}

spiegelt die Zeit im anfälligen Zustand vor der Infektion wider, die vereinfacht werden kann, um: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

so dass die Anzahl der anfälligen Personen die Anzahl ist, die in das anfällige Kompartiment eintritt μ N {\displaystyle \mu N}

mal die Dauer der Suszeptibilität: S = μ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

Analog ist die Steady-State-Anzahl der infizierten Personen die Anzahl, die aus dem empfänglichen Zustand in den infizierten Zustand eintritt (Anzahl empfänglich, mal Infektionsrate λ = β I N , {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}

die Dauer der Infektiosität 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = μ N μ + λ λ 1 μ + v. {\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}

Andere Kompartimentsmodellebearbeiten

Es gibt viele Modifikationen des SIR-Modells, einschließlich solcher, die Geburten und Todesfälle umfassen, bei denen nach der Genesung keine Immunität besteht (SIS-Modell), bei denen die Immunität nur für kurze Zeit anhält (SIRS), bei denen es eine Latenzzeit der Krankheit gibt, bei der die Person nicht infektiös ist (SEIS und SEIR) und bei denen Säuglinge mit Immunität geboren werden können (MSIR).