Honeycutt syntyi Chattanoogassa, Tennesseessä, ja valmistui Lakeview – Fort Oglethorpe High Schoolista Fort Oglethorpessa, Georgiassa.

Honeycutt pelasi vuosina 1973-1976 Tennessee Volunteers baseball-joukkueessa, jossa hän oli All-American ykkösvahti-syöttäjä ja voitti Southeastern Conferencen lyöntivuoron mestaruuden A: lla .404 merkki. Hän pelasi kesäpalloa Liberalissa Kansasissa Jayhawk Leaguessa Bob Cervin joukkueessa.

Honeycutt varattiin vuoden 1976 varaustilaisuuden 17.kierroksella Pittsburgh Piratesiin. Jälkeen 1 1⁄2 vuodenaikaa niiden minor league system, Pirates kauppasi hänet Seattle Mariners elokuussa 1977 loppuun aiemmin kaupan Dave Pagan.

hän teki major league-debyyttinsä 24.elokuuta 1977 Toronto Blue Jaysia vastaan. Hän syötti kaksi sisävuoroa, löi 3, päästi 2 osumaa eikä yhtään juoksua. Hänen ensimmäinen aloituksensa oli New York Yankeesia vastaan 31.elokuuta. Hän löi tuossa startissa 7,1 sisävuoroa ja päästi 3 juoksua. Hän johti kauden 0-1, mutta sai ensimmäisen voittonsa ensimmäisessä startissaan seuraavana vuonna, kun hän voitti Minnesota Twinsin 7.huhtikuuta 1978.

hän kypsyi torjuntahyökkääjäksi, ja hänet valittiin Vuoden 1980 tähdistöotteluun. Kun hän oli syöttämässä 30. syyskuuta 1980, hän jäi kiinni peukalonpään käyttämisestä pallon laittomaan leikkaamiseen. Hän sai tilanteesta ulosajon ja 10 ottelun pelikiellon. Kauden 1980 jälkeen hänet kaupattiin Larry Coxin, Willie Hortonin, Mario Mendozan ja Leon Robertsin kanssa Texas Rangersiin vaihdossa Brian Allardiin, Rick Auerbachiin, Ken Clayhin, Jerry Gleatoniin ja Richie Ziskiin. Vuonna 1983 Honeycutt edusti Rangersia tähdistöottelussa. Elokuuta 1983 Honeycutt kaupattiin Rangersista Los Angeles Dodgersiin vaihdossa Dave Stewartiin ja Ricky Wrightiin. Honeycutt johti American Leaguen kautta kaudella 1983 ajalla 2.42, vaikka hänet kaupattiin Dodgersiin kauden loppupuolella.

vuonna 1987 Dodgers kauppasi Honeycuttin Oakland Athleticsiin pelaajasta, joka nimettiin myöhemmin Tim Belcheriksi. Muunnettu alkaen syöttäjä helpotus 1988 Oakland, hän tuli set-up mies Dennis Eckersley, lähettämistä sarjan sub-3.7 ERAs 1988 kautta 1993. Hän oli vanhin major league-pelaaja sekä 1996 että 1997.

hän teki urallaan 268 aloitusta ja 529 torjuntaa, kirjautti 2 160 sisävuoroa ja kokosi 109 voittoa ja 38 torjuntaa.