Honeycutt wurde in Chattanooga, Tennessee, geboren und absolvierte die Lakeview – Fort Oglethorpe High School in Fort Oglethorpe, Georgia.Honeycutt spielte für die Tennessee Volunteers Baseball-Team von 1973-1976, wo er war ein All-American First Baseman-Pitcher und gewann die Southeastern Conference Batting Titel mit einem .404 mark. Er spielte Summer Ball in Liberal, Kansas, in der Jayhawk League, für Bob Cerv.Honeycutt wurde in der 17. Runde des Drafts 1976 von den Pittsburgh Pirates eingezogen. Nach 1 1⁄2 Spielzeiten in ihrem Minor-League-System tauschten die Piraten ihn im August 1977 an die Seattle Mariners, um einen früheren Handel für Dave Pagan abzuschließen.Sein Debüt in der Major League gab er am 24.August 1977 gegen die Toronto Blue Jays. Er warf zwei Innings der Erleichterung, schlug 3, erlaubt 2 Hits und keine Läufe. Sein erstes Spiel bestritt er am 31.August gegen die New York Yankees. Er warf 7.1 Innings in diesem Start, so dass 3 läuft. Er beendete die Saison 0-1, bekam aber seinen ersten Sieg in seinem ersten Start im folgenden Jahr und schlug die Minnesota Twins am 7. April 1978.

Er reifte zu einem Kontrollkrug heran und wurde für das All-Star Game 1980 ausgewählt. Während er am 30. September 1980 pitchte, wurde er mit einer Reißzwecke erwischt, um den Ball illegal zu schneiden. Er wurde ausgeworfen und für 10 Spiele gesperrt. Nach der Saison 1980 wurde er mit Larry Cox, Willie Horton, Mario Mendoza und Leon Roberts an die Texas Rangers für Brian Allard, Rick Auerbach, Ken Clay, Jerry Gleaton und Richie Zisk gehandelt. 1983 vertrat Honeycutt die Rangers im All-Star Game. Am 19. August 1983 wurde Honeycutt von den Rangers zu den Los Angeles Dodgers für Dave Stewart und Ricky Wright gehandelt. Honeycutt führte die American League in ERA im Jahr 1983 mit 2,42, obwohl er zu den Dodgers spät in der Saison gehandelt wurde.Im Jahr 1987 tauschten die Dodgers Honeycutt an die Oakland Athletics für einen Spieler, der später benannt werden sollte, der Tim Belcher sein würde. Er wurde 1988 von Oakland von einem Starting Pitcher zu einem Relief umgebaut und wurde ein Setup-Mann für Dennis Eckersley, der von 1988 bis 1993 eine Reihe von Sub-3.7-Epochen veröffentlichte. Er war der älteste Spieler der Major League in den Jahren 1996 und 1997.Er machte 268 Starts und 529 Entlastungsauftritte in seiner Karriere, protokollierte 2.160 Innings und sammelte 109 Siege und 38 Saves.