A SIR modell az egyik legegyszerűbb kompartmentális modell, és sok modell ennek az alapformának a származéka. A modell három rekeszből áll: –

S: a fogékony egyének száma. Amikor egy fogékony és egy fertőző egyén “fertőző érintkezésbe” kerül, a fogékony egyén elkapja a betegséget, és áttér a fertőző rekeszbe. I: a fertőző egyének száma. Ezek olyan személyek, akik fertőzöttek és képesek fertőzni a fogékony személyeket. R az eltávolított (és immun) vagy elhunyt személyek számára. Ezek olyan személyek, akik fertőzöttek, vagy felépültek a betegségből, beléptek az eltávolított rekeszbe, vagy meghaltak. Feltételezzük, hogy a halálesetek száma elhanyagolható a teljes népességhez képest. Ezt a rekeszt “helyreállítottnak” vagy “ellenállónak”is nevezhetjük.

Ez a modell ésszerűen előrejelzi az emberről emberre terjedő fertőző betegségeket, és ahol a gyógyulás tartós rezisztenciát eredményez, mint például a kanyaró, a mumpsz és a rubeola.

ezek a változók (S, I és R) az egyes rekeszekben lévő emberek számát jelzik egy adott időben. Annak ábrázolására, hogy a fogékony, fertőző és eltávolított egyedek száma idővel változhat (még akkor is, ha a teljes populáció mérete állandó marad), a pontos számokat t (idő) függvényévé tesszük: S(t), I(t) és R(t). Egy adott populációban előforduló konkrét betegség esetében ezeket a funkciókat ki lehet dolgozni a lehetséges kitörések előrejelzésére és ellenőrzésük alá vonására.

amint azt a változó függvénye sugallja t, a modell dinamikus, mivel az egyes rekeszek száma idővel ingadozhat. Ennek a dinamikus szempontnak a fontossága a legnyilvánvalóbb egy rövid fertőző periódusú endémiás betegségben, például kanyaróban az Egyesült Királyságban a vakcina 1968-as bevezetése előtt. Az ilyen betegségek általában a kitörések ciklusaiban fordulnak elő, mivel az érzékenység (S(t)) idővel változik. Egy járvány során a fogékony egyének száma gyorsan csökken, mivel többen fertőzöttek, és így belépnek a fertőző és eltávolított rekeszekbe. A betegség nem törhet ki újra, amíg a fogékonyak száma vissza nem épül, például az utódok fogékony rekeszbe való megszületésének eredményeként.

a populáció minden tagja jellemzően a fertőzésre fogékonytól a gyógyulásig halad. Ez egy folyamatábraként mutatható ki, amelyben a dobozok a különböző rekeszeket, a nyilak pedig a rekeszek közötti átmenetet ábrázolják, azaz

átmeneti arányokszerkesztés

a modell teljes specifikációjához a nyilakat fel kell tüntetni a rekeszek közötti átmeneti sebességekkel. Az S és I között az átmeneti Arány d(S/N)/dt = -xhamsi/N2, ahol N A teljes populáció, az egy főre jutó érintkezések átlagos száma, szorozva a betegség átvitelének valószínűségével egy fogékony és egy fertőző beteg közötti érintkezésben, és SI/N2 a fertőző és a fogékony személy közötti érintkezések azon hányada, amelyek a fogékony személy fertőzését eredményezik. (Ez matematikailag hasonló a kémiai tömeghatás törvényéhez, amelyben a molekulák közötti véletlenszerű ütközések kémiai reakciót eredményeznek, és a frakcionált sebesség arányos a két reagens koncentrációjával).

i és R között az átmeneti Arány feltételezhetően arányos a fertőző egyének számával, amely yI. Ez egyenértékű azzal a feltételezéssel, hogy a fertőző egyén felépülésének valószínűsége bármely időintervallumban DT egyszerűen ydt. Ha az egyén egy átlagos d időtartamig fertőző, akkor 6 = 1 / D. Ez egyenértékű azzal a feltételezéssel is, hogy az egyén által a fertőző állapotban töltött idő véletlen változó, exponenciális eloszlással. A” klasszikus ” SIR modell módosítható bonyolultabb és reálisabb eloszlások alkalmazásával az I-R átmeneti sebességhez (pl. az Erlang-Eloszlás).

abban a speciális esetben, amikor nincs eltávolítás a fertőző rekeszből (6=0), A SIR modell egy nagyon egyszerű SI modellre redukálódik, amelynek logisztikai megoldása van, amelyben minden egyén végül megfertőződik.

A Sir modell létfontosságú dinamika nélkülszerkeszt

egy járvány, például az influenza dinamikája gyakran sokkal gyorsabb, mint a születés és a halál dinamikája, ezért a születést és a halált gyakran kihagyják az egyszerű kompartmentális modellekben. A fent leírt, úgynevezett vitális dinamika (születés és halál, néha demográfia) nélküli SIR rendszer a következő közönséges differenciálegyenletekkel fejezhető ki:

{\frac {DS} {dt}} = − {\FRAC {\beta IS} {N}},\\&{\FRAC {DS} {DT}} = − {\FRAC {\beta is} {N}},\\&{\frac {di} {dt}}={\FRAC {\beta is} {n}}-\Gamma i,\\&{\FRAC {Dr} {DT}}=\Gamma I,\end{igazított}}}

ahol s {\displaystyle s}

a fogékony populáció állománya, I {\displaystyle i}

a fertőzöttek állománya, R {\displaystyle R}

a fertőzöttek állománya az eltávolított populáció (akár halál, akár gyógyulás útján), és n {\displaystyle n}

ennek a háromnak az összege.

ezt a modellt először William Ogilvy Kermack és Anderson Gray McKendrick javasolta a mai Kermack–McKendrick elmélet speciális eseteként, és követte McKendrick Ronald Ross-szal végzett munkáját.

Ez a rendszer nemlineáris, azonban analitikus megoldását implicit formában lehet levezetni. Először is jegyezzük meg, hogy:

d S d t + d I d t + d R d t = 0, {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

ebből következik, hogy:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = állandó = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,}

matematikai kifejezésekkel kifejezve az n {\displaystyle n} populáció állandósága

. Vegye figyelembe, hogy a fenti kapcsolat azt jelenti, hogy a három változó közül kettőnek csak az egyenletét kell tanulmányoznia.

másodszor megjegyezzük, hogy a fertőző osztály dinamikája a következő aránytól függ:

R 0 = ons, {\displaystyle R_ {0}={\frac {\beta} {\gamma}},}

az úgynevezett basic reprodukciós szám (más néven basic reproduction ratio). Ez az arány az új fertőzések várható számából származik (ezeket az új fertőzéseket néha másodlagos fertőzéseknek nevezik) egyetlen fertőzésből egy olyan populációban, ahol minden alany fogékony. Ezt az elképzelést valószínűleg jobban megérthetjük , ha azt mondjuk, hogy a kontaktusok közötti tipikus idő T c = kb=kb=1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, és az eltávolításig jellemző idő T r=kb − 1 {\displaystyle T_{r}=\Gamma ^{-1}}

. Innen következik, hogy átlagosan a fertőző egyén másokkal való érintkezésének száma a fertőző eltávolítása előtt: T r / T c . {\displaystyle T_{r} / T_{c}.}

az első differenciálegyenlet elosztásával a harmadikkal, a változók elválasztásával és integrálásával

S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/n},}

ahol s ( 0 ) {\displaystyle s(0)}

és R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

a fogékony, illetve az eltávolított alanyok kezdeti száma. Írás s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

a fogékony egyedek kezdeti arányára, és S = S (\displaystyle s_ {\infty }=S(\infty ) / N}

és R (\infty)/n {\displaystyle R_ {\infty} = r (\infty ) / n}

a fogékony és az eltávolított egyedek arányára a T-N belül, {\displaystyle T \to \ infty ,}

az egyiknek van s = 1 − r = S 0 e − R 0 ( r ons-r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-R_{\infty }=s_{0}e^{- R_{0}(r_{\infty}-R_{0})}}

(vegye figyelembe, hogy a fertőző rekesz ebben a határban ürül ki).Ennek a transzcendentális egyenletnek van megoldása a Lambert w függvény, nevezetesen

s = 1 − r = − r 0 − 1 W ( − s 0 R 0 e − R 0 ( 1 − r 0 ) ) . {\displaystyle s_ {\infty }=1-r_ {\infty } = – R_{0}^{-1}\, W (- s_{0}R_{0}e^{- R_{0} (1-r_{0})}).}

Ez azt mutatja, hogy egy olyan járvány végén, amely megfelel a SIR modell egyszerű feltételezéseinek, hacsak s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

nem távolították el a populáció minden egyedét , ezért néhánynak fogékonynak kell maradnia. A járvány végéhez vezető hajtóerő a fertőző egyének számának csökkenése. A járvány általában nem ér véget a fogékony egyének teljes hiánya miatt.

mind az alap reprodukciós szám, mind a kezdeti érzékenység szerepe rendkívül fontos. Valójában a fertőző egyének egyenletének átírásakor a következőképpen:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) I. számú , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\balra(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\jobbra)\gamma I,}

Ez azt eredményezi, hogy ha:

R 0 Kb s ( 0 ) > n, {\displaystyle R_{0}\cdot s(0)>n,}

majd:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

azaz megfelelő járványkitörés lesz a fertőzöttek számának növekedésével (amely elérheti a lakosság jelentős részét). Éppen ellenkezőleg, ha

R 0 db S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<n,}

majd

D I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {di}{dt}}(0)<0,}

azaz a fogékony populáció kezdeti méretétől függetlenül a betegség soha nem okozhat megfelelő járványkitörést. Következésképpen egyértelmű, hogy mind az alapvető reprodukciós szám, mind a kezdeti érzékenység rendkívül fontos.

a fertőzés ereje

vegye figyelembe, hogy a fenti modellben a funkció:

F = i, {\displaystyle F=\beta I,}

modellezi az átmeneti sebességet a fogékony egyedek rekeszéből a fertőző egyedek rekeszébe, úgy, hogy ezt nevezzük a fogékony egyedek fertőzés. A fertőző betegségek nagy csoportjai esetében azonban reálisabb egy olyan fertőzési erőt figyelembe venni, amely nem a fertőző betegek abszolút számától, hanem azok frakciójától függ (a teljes állandó populációhoz viszonyítva N {\displaystyle N}

): f = i n . {\displaystyle F = \ beta {\frac {I}{N}}.}

Capasso és ezt követően más szerzők a fertőzés nemlineáris erőit javasolták a fertőzés folyamatának reálisabb modellezésére.

pontos analitikai megoldások a SIR modellhez

2014-ben Harko és társszerzői egy pontos ún. analitikai megoldást vezettek le a SIR modellhez (amely csak számszerűen számítható integrálból áll). A vitális dinamika beállítása nélküli esetben S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

stb., megfelel a következő időparametrizációnak S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {i}}(u)=n-{\mathcal {r}}(u)-{\mathcal {s}}(u)}

r ( u ) = r ( 0 ) − u ) {\displaystyle {\mathcal {r}} (u)=r(0)-\Rho \Ln(u)}

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\béta -}} \int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\béta }},}

a kezdeti feltételek ( S ( 1 ) , nem ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. A transzcendens egyenlet R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

fentiekből következik, hogy u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = K ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

ha S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

én ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

egyenértékű úgynevezett analitikus megoldás (bevonásával szerves hogy csak akkor lehet kiszámítani, számszerűen) által talált Miller hozamok S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ξ ρ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{igazítva}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\béta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{igazítva}}}

itt a ( Z)! (t) {\displaystyle \XI (t)}

úgy értelmezhető, mint az egyén által a T {\displaystyle T}

időre kapott adások várható száma . A két megoldás összefügg egymással: E-6 (T)=u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

gyakorlatilag ugyanaz az eredmény található Kermack és McKendrick eredeti munkájában.

ezek a megoldások könnyen érthetők, ha megjegyezzük, hogy az eredeti differenciálegyenletek jobb oldalán lévő összes kifejezés arányos az I {\displaystyle i}

értékkel . Az egyenletek így oszthatók I {\displaystyle i}

, és az időt úgy skálázhatjuk át , hogy a bal oldali differenciál operátor egyszerűen d / d legyen d/d {\displaystyle d/d\tau }

, ahol d ++ = i d t {\displaystyle D\tau =IDT}

, azaz, azaz, I d t {\displaystyle \tau = \int IDT}

. A differenciálegyenletek most már mind lineárisak, a harmadik egyenlet pedig D R / d = {\displaystyle Dr/d \ tau=}

const., azt mutatja, hogy a \{\displaystyle\tau }

és R {\displaystyle R}

(és a \{\displaystyle \ xi }

, és ahol a fertőző betegség terjed. A tömeghatású átvitelű modell: d S d t = Λ μ − S − β i S N a d i a d a t = β i S N − γ I − μ i d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{igazítva}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\béta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\béta}{N}}-\gamma-én-\mu I\\{\frac {dr.}{dt}}&=\gamma-én-\mu R\end{igazítva}}}

amely a betegségmentes egyensúly (DFE):

( S ( t), I ( t), R ( t)) = (6 , 0 , 0). {\displaystyle\left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left ({\frac {\Lambda} {\mu }},0,0 \ right).}

ebben az esetben levezethetünk egy alapvető reprodukciós számot:

R 0 = CA 0=CA 0, {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu + \Gamma}},}

amely küszöbérték tulajdonságokkal rendelkezik. Valójában, függetlenül a biológiailag értelmes kezdeti értékektől, ezt meg lehet mutatni: R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = a dfe = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\működik a legjobban, \lim _{t\a \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {ÜZEMELÉSÉHEZ}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 >> 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R, 0 − 1 ) , γ β ( R, 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\bal({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\FRAC {\mu }{\Beta }}\balra(R_{0}-1\jobbra),{\FRAC {\Gamma }{\Beta }}\balra(R_{0}-1\jobbra)\jobbra).}

az EE pontot endémiás egyensúlynak nevezik (a betegség nem teljesen felszámolható, és a populációban marad). Heurisztikus érvekkel kimutathatjuk, hogy az R 0 {\displaystyle R_{0}}

egy teljesen fogékony populációban egyetlen fertőző beteg által okozott fertőzések átlagos számaként értelmezhető, a fenti kapcsolat biológiailag azt jelenti, hogy ha ez a szám kevesebb vagy egyenlő, akkor a betegség kihal, míg ha ez a szám nagyobb, mint egy, akkor a betegség tartósan endémiás marad a populációban.

The SIR modelEdit

1927-ben W. O. Kermack és A. G. McKendrick megalkottak egy modellt, amelyben egy rögzített populációt vettek figyelembe, amelynek csak három rekesze van: fogékony, S (t ) {\displaystyle s (t)}

; fertőzött, i(t ) {\displaystyle I(t)}

; és felépült, R(t ) {\displaystyle R(t)}

. Az ehhez a modellhez használt rekeszek három osztályból állnak:

• S ( t ) {\displaystyle S(t)}
  

  a T időpontban még nem fertőzött egyedeket, vagy a populáció betegségére fogékonyakat jelöli.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  a populáció azon egyedeit jelöli, akik megfertőződtek a betegséggel, és képesek a betegséget a fogékony kategóriába tartozókra is átterjeszteni.

• R(t) {\displaystyle R(t)}
  

  az a rekesz, amelyet a populáció azon egyedei számára használnak, akik megfertőződtek, majd immunizálás vagy halál miatt eltávolodtak a betegségből. Az ebbe a kategóriába tartozók nem képesek újra megfertőződni, vagy a fertőzést másoknak továbbítani.

ennek a modellnek az áramlása a következőképpen tekinthető:

s {\color {blue} {{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {i}} \rightarrow {\mathcal {R}}}}

rögzített populációt használva N = S ( t ) + i ( t ) + r ( t) {\displaystyle N=S(T)+I(T)+R(t)}

A három függvényben megoldja, hogy az n {\displaystyle n}

állandónak kell maradnia a szimuláción belül, ha szimulációt használnak a Sir modell megoldására. Alternatív megoldásként az analitikus közelítő szimuláció végrehajtása nélkül is használható. A modell a következő értékekkel kezdődik: S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

és R ( t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Ezek az emberek száma a fogékony, fertőzött és eltávolított kategóriák időben egyenlő nulla. Ha feltételezzük, hogy a SIR modell mindenkor érvényes, ezek a kezdeti feltételek nem függetlenek. Ezt követően az áramlási modell frissíti a három változót minden időpontra a következő értékekkel: \{\displaystyle\beta }

és \{\displaystyle \ gamma }

. A szimuláció először frissíti a fertőzött a fogékony, majd az eltávolított kategória frissül a fertőzött kategóriában a következő időpontban (t=1). Ez leírja az áramlást személyek a három kategória között. Járvány esetén a fogékony kategória nem tolódik el ezzel a modellel, tehát a járvány során változik a 0DC\beta és változik a\gamma . Ezek a változók határozzák meg a járvány hosszát, és ezeket minden ciklusban frissíteni kell. D S d t = − d i n {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\FRAC {\beta SI}{N}}}

d I d t = d i i N n − ++ i {\displaystyle {\frac {} dI} {dt}}={\Frac {\Beta si} {n}}-\Gamma I}

D R D t = {i {\displaystyle {\frac{Dr} {DT}}=\Gamma i}

számos feltételezés született ezen egyenletek megfogalmazásában: Először is úgy kell tekinteni, hogy a populációban egy egyénnek azonos a valószínűsége annak, hogy a {\displaystyle a}

és egyenlő arányban b {\displaystyle B}

azon emberek aránya, akikkel az egyén kapcsolatba lép egységnyi idő alatt. Akkor legyen a {\displaystyle \beta }

a {\displaystyle a}

és b {\displaystyle B}

. Ez az átviteli valószínűség szorozva az érintkezési sebességgel. Emellett egy fertőzött személy kapcsolatba lép b {\displaystyle b}

személyekkel egységnyi idő alatt, míg csak egy törtrész, S n {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

ezek közül fogékonyak.Így minden fertőzöttünk képes megfertőzni egy b s = kb s {\displaystyle abS=\beta s}

fogékony személyt, ezért a fertőzöttek által megfertőzött fogékony személyek teljes száma egységnyi idő alatt: \S I {\displaystyle\beta SI}

. A második és a harmadik egyenletnél vegye figyelembe, hogy a fogékony osztályt elhagyó populáció megegyezik a fertőzött osztályba belépő számmal. Azonban egy szám, amely egyenlő a hányaddal, a fertőzöttek közül a következők közül kerül ki: \{\displaystyle\gamma }

(ami az átlagos gyógyulási/halálozási rátát jelenti, vagy 1 / KB {\displaystyle 1/\gamma }

az átlagos fertőzési periódus) egység idő az eltávolított osztályba való belépéshez. Ezeket az egyidejűleg bekövetkező folyamatokat a tömeges cselekvés törvényének nevezik, széles körben elfogadott elképzelés, miszerint a populáció két csoportja közötti érintkezés aránya arányos az egyes érintett csoportok méretével. Végül feltételezzük, hogy a fertőzés és a gyógyulás üteme sokkal gyorsabb, mint a születések és halálesetek időskálája, ezért ezeket a tényezőket ebben a modellben figyelmen kívül hagyják.

állandósult állapotú megoldásokszerkesztés

a fogékonyság várható időtartama e \\displaystyle\operatorname {e} }

ahol T L {\displaystyle T_ {L}}

az életben töltött időt (várható élettartamot) tükrözi, és T S {\displaystyle T_ {s}}

a fertőződés előtti érzékeny állapotban töltött időt tükrözi, ami leegyszerűsíthető: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

olyan, hogy a szám a fogékony személyek száma belépő a fogékony rekesz μ N {\displaystyle \mu N}

alkalommal időtartama érzékenység: S = μ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

ezzel analóg módon, a steady-state száma fertőzött személyek számának megadása a fertőzött állam a fogékony állapotban (szám fogékony, az idők fertőzés λ = β i N {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\béta-I}{N}},}

alkalommal időtartama infectiousness 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = μ N μ + λ λ 1 μ + v . {\displaystyle I={\frac {\mu N} {\mu + \ lambda }} \ lambda {\frac {1} {\mu + v}}.}

Egyéb kompartmentális modellekedit

a SIR modellnek számos módosítása van, beleértve azokat is, amelyek magukban foglalják a születéseket és a haláleseteket, ahol a gyógyulás után nincs immunitás (SIS modell), ahol az immunitás csak rövid ideig tart (SIRS), ahol a betegség látens periódusa van, amikor az illető nem fertőző (SEIS és SEIR), és ahol a csecsemők immunitással születhetnek (MSIR).