Honeycutt è nato a Chattanooga, Tennessee, e si è laureato alla Lakeview – Fort Oglethorpe High School di Fort Oglethorpe, Georgia.

Honeycutt ha giocato per la squadra di baseball Tennessee Volunteers dal 1973 al 1976, dove è stato un All-American prima base-lanciatore e ha vinto il titolo di battuta della Southeastern Conference con un .punto 404. Ha giocato a summer ball in Liberal, Kansas, nella Jayhawk League, per Bob Cerv.Honeycutt fu scelto nel corso del 17º giro del draft 1976 dai Pittsburgh Pirates. Dopo 1 1⁄2 stagioni nella loro minor league, i Pirates lo scambiarono con i Seattle Mariners nell’agosto 1977 per completare un precedente scambio con Dave Pagan.Debuttò nella major league il 24 agosto 1977 contro i Toronto Blue Jays. Ha lanciato due inning di rilievo, colpito fuori 3, permesso 2 colpi e non corre. La sua prima partenza fu contro i New York Yankees il 31 agosto. Ha lanciato 7.1 inning in quella partenza, permettendo 3 piste. Terminò la stagione 0-1, ma ottenne la sua prima vittoria nella sua prima partita l’anno successivo, battendo i Minnesota Twins il 7 aprile 1978.

Maturò in un lanciatore di controllo, venendo selezionato per l’All-Star Game 1980. Mentre stava lanciando il 30 settembre 1980, fu catturato usando una puntina da disegno per tagliare illegalmente la palla. Fu espulso e sospeso per 10 partite. Dopo la stagione 1980, fu scambiato con Larry Cox, Willie Horton, Mario Mendoza e Leon Roberts ai Texas Rangers per Brian Allard, Rick Auerbach, Ken Clay, Jerry Gleaton e Richie Zisk. Nel 1983, Honeycutt ha rappresentato i Rangers nell’All-Star Game. Il 19 agosto 1983, Honeycutt fu scambiato dai Rangers ai Los Angeles Dodgers per Dave Stewart e Ricky Wright. Honeycutt ha guidato l’American League in ERA in 1983 con 2.42, anche se è stato scambiato con i Dodgers a fine stagione.

Nel 1987, i Dodgers scambiarono Honeycutt con gli Oakland Athletics per un giocatore da nominare in seguito, che sarebbe stato Tim Belcher. Convertito da lanciatore titolare a rilievo nel 1988 da Oakland, divenne un uomo di set-up di Dennis Eckersley, pubblicando una serie di sub-3.7 ER dal 1988 al 1993. È stato il giocatore più anziano della major league sia nel 1996 che nel 1997.

Ha fatto 268 partenze e 529 presenze nella sua carriera, registrando 2.160 inning lanciati e compilando 109 vittorie e 38 salvezze.