Honeycutt nació en Chattanooga, Tennessee, y se graduó de Lakeview-Fort Oglethorpe High School en Fort Oglethorpe, Georgia.

Honeycutt jugó para el equipo de béisbol Tennessee Volunteers de 1973 a 1976, donde fue lanzador de primera base All-American y ganó el título de bateo de la Conferencia Sureste con a .marca 404. Jugó summer ball en Liberal, Kansas, en la Liga Jayhawk, para Bob Cerv.

Honeycutt fue seleccionado en la ronda 17 del draft de 1976 por los Piratas de Pittsburgh. Después de 1 1⁄2 temporadas en su sistema de ligas menores, los Pirates lo cambiaron a los Marineros de Seattle en agosto de 1977 para completar un intercambio anterior por Dave Pagan.Hizo su debut en grandes ligas el 24 de agosto de 1977, contra los Azulejos de Toronto. Lanzó dos entradas de relevo, ponchó a 3, permitió 2 hits y sin carreras. Su primera apertura fue contra los Yankees de Nueva York el 31 de agosto. Lanzó 7.1 entradas en ese inicio, permitiendo 3 carreras. Terminó la temporada 0-1, pero obtuvo su primera victoria en su primera apertura al año siguiente, superando a los Mellizos de Minnesota el 7 de abril de 1978.

Maduró en un lanzador de control, siendo seleccionado para el Juego de Estrellas de 1980. Mientras lanzaba el 30 de septiembre de 1980, fue atrapado usando una chincheta para cortar ilegalmente la pelota. Fue expulsado y suspendido por 10 partidos. Después de la temporada de 1980, fue cambiado con Larry Cox, Willie Horton, Mario Mendoza y Leon Roberts a los Rangers de Texas por Brian Allard, Rick Auerbach, Ken Clay, Jerry Gleaton y Richie Zisk. En 1983, Honeycutt representó a los Rangers en el Juego de Estrellas. El 19 de agosto de 1983, Honeycutt fue traspasado de los Rangers a Los Dodgers de Los Ángeles por Dave Stewart y Ricky Wright. Honeycutt lideró la Liga Americana en EFECTIVIDAD en 1983 con 2.42, aunque fue traspasado a los Dodgers al final de la temporada.

En 1987, los Dodgers cambiaron Honeycutt a los Atléticos de Oakland por un jugador que sería nombrado más tarde, que sería Tim Belcher. Convertido de lanzador titular a relevo en 1988 por Oakland, se convirtió en un preparador de Dennis Eckersley, publicando una serie de eras sub-3.7 desde 1988 hasta 1993. Fue el jugador de mayor edad de las grandes ligas tanto en 1996 como en 1997.

Hizo 268 aperturas y 529 apariciones como relevista en su carrera, registrando 2.160 entradas lanzadas y compilando 109 victorias y 38 salvamentos.