Honeycutt est né à Chattanooga, Tennessee, et est diplômé du lycée Lakeview-Fort Oglethorpe à Fort Oglethorpe, en Géorgie.

Honeycutt a joué pour l’équipe de baseball des Tennessee Volunteers de 1973 à 1976, où il était joueur de premier but-lanceur All-American et a remporté le titre de frappeur de la Southeastern Conference avec un.404 marque. Il a joué au ballon d’été à Liberal, Kansas, dans la ligue Jayhawk, pour Bob Cerv.

Honeycutt est repêché au 17e tour de sélection par les Pirates de Pittsburgh en 1976. Après 1 1⁄2 saison dans leur système de ligues mineures, les Pirates l’échangent aux Mariners de Seattle en août 1977 pour compléter un échange précédent contre Dave Pagan.

Il fait ses débuts dans le baseball majeur le 24 août 1977 contre les Blue Jays de Toronto. Il lance deux manches de relève, retire 3 frappeurs sur des prises, accorde 2 coups sûrs et aucun point. Son premier départ est contre les Yankees de New York le 31 août. Il lance 7,1 manches au cours de ce départ, allouant 3 points. Il termine la saison 0-1, mais obtient sa première victoire à son premier départ l’année suivante, battant les Twins du Minnesota le 7 avril 1978.

Il est devenu un lanceur de contrôle, étant sélectionné au Match des étoiles 1980. Alors qu’il lançait le 30 septembre 1980, il a été surpris à utiliser une punaise pour couper illégalement la balle. Il a été expulsé et suspendu pour 10 matchs. Après la saison 1980, il est échangé avec Larry Cox, Willie Horton, Mario Mendoza et Leon Roberts aux Rangers du Texas contre Brian Allard, Rick Auerbach, Ken Clay, Jerry Gleaton et Richie Zisk. En 1983, Honeycutt représente les Rangers au Match des étoiles. Le 19 août 1983, Honeycutt est échangé des Rangers aux Dodgers de Los Angeles contre Dave Stewart et Ricky Wright. Honeycutt a mené la Ligue américaine en ERA en 1983 avec 2,42, bien qu’il ait été échangé aux Dodgers en fin de saison.

En 1987, les Dodgers échangent Honeycutt aux Athletics d’Oakland contre un joueur qui sera nommé plus tard, qui sera Tim Belcher. Converti d’un lanceur partant à un lanceur de relève en 1988 par Oakland, il devient l’homme de terrain de Dennis Eckersley, affichant une série d’époques inférieures à 3,7 de 1988 à 1993. Il est le joueur le plus âgé des ligues majeures en 1996 et 1997.

Il effectue 268 départs et 529 apparitions en relève au cours de sa carrière, enregistrant 2 160 manches lancées et compilant 109 victoires et 38 sauvetages.